2024届高考数学重难点讲义系列之——抽象函数

抽象函数能力提升训练 一、考法概述 抽象函数主要有两个研究方向:一是由抽象函数结构、性质,联想已学过的基本函数,再由基本函数的相关结论,预测、猜想抽象函数可能有的相关结论.二是根据给出的抽象函数性质,推导其特殊的性质和关系.考题多和函数的性质(单调性、奇偶性、周期性等)相结合,以小题的方式考查. 二、重要结论 1.关于函数图象的对称中心或对称轴的常用结论: (1)若函数f(x)满足关系f(a+x)=f(a-x),则函数f(x)的图象关于直线x=a对称; (2)若函数f(x)满足关系f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于直线x=对称; (3)若函数f(x)满足关系f(a+x)=-f(b-x),则函数f(x)的图象关于点对称; (4)若函数f(x)满足关系f(a+x)+f(b-x)=c,则函数f(x)的图象关于点对称. 2.设f(x)的周期为T,对f(x)的定义域内任一自变量的值x,有如下结论: (1)若f(x+a)=-f(x)(a≠0),则T=2|a|; (2)若f(x+a)=(a≠0),则T=2|a|; (3)若f(x+a)=f(x+b)(a≠b),则T=|a-b|. 3.对称性与周期性之间的常用结论: (1)若函数f(x)的图象关于直线x=a和x=b对称,则函数f(x)的周期T=2|b-a|; (2)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期T=2|b-a|; (3)若函数f(x)的图象关于直线x=a和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期T=4|b-a|. 三、解法概述 解决抽象函数问题的常用方法: 方法一(通法) 1.赋值,特殊值代入求值,如令x=0,1,2,3,…. 2.通过函数式得到抽象函数的性质: (1)通过f(x1)-f(x2)的变换判断单调性; (2)令式子中出现f(x)和f(-x),判断函数的奇偶性; (3)换x为x+T确定是否具有周期性. 方法二(模型化) 结合具体函数,使得抽象函数具体化,常见的有: (1)f(x+y)=f(x)+f(y)——y=kx; (2)f(x+y)=f(x)f(y)——y=ax(a>0且a≠1); (3)f(xy)=f(x)+f(y)——y=logax(a>0且a≠1); (4)f(xy)=f(x)f(y)——y=xn(n为常数); (5)f(x+y)=——y=tan x; (6)f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)——y=cos ωx. 注意转化与化归策略、迭代策略、数形结合策略等的运用. 四、典例精析 【2021·新高考全国Ⅱ卷·8】 已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)是偶函数,f(2x+1)是奇函数,则 (　 ) A.f=0 B.f(-1)=0 C.f(2)=0 D.f(4)=0 【答案】B　 【解析】 【解法一】常规方法推导.∵f(x+2)是偶函数,∴f(-x+2)=f(x+2).∵f(2x+1)是奇函数,∴f(-2x+1)=-f(2x+1).由F(x)=f(2x+1)是奇函数,可得F(0)=f(1)=0,∴f(-1)=-f(3)=-f(1)=0,其他几个选项不一定成立,故选B. 【解法二】特殊函数秒杀.由f(x+2)是偶函数,f(2x+1)是奇函数,可取f(x)=cos,可得f(-1)=0,其他几个选项均不成立,故选B. 【2022·新高考全国Ⅱ卷·8】 若函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,则f(k)=( )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.-3 B.-2 C.0 D.1 【答案】A 【解法一】令x=1,y=0,得2f(1)=f(1)f(0),所以f(0)=2.令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1),所以f(x+1)+f(x-1)=f(x),即f(x+1)=f(x)-f(x-1),所以f(x+2)=f(x+1)-f(x),所以f(x+2)=-f(x-1),即f(x+3)=-f(x),所以f(x)=-f(x+3)=f(x+6),即f(x)是周期为6的周期函数.因为f(0)=2,f(1)=1,f(2)=f(1)-f(0)=-1,f(3)=-f(0)=-2,f(4)=-f(1)=-1,f(5)=-f(2)=1,f(6)=f(0)=2,所以f(k)=[f(1)+f(2)+…+f(18)]+[f(19)+f(20)+f(21)+f(22)]=f(19)+f(20)+f(21)+f(22)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-3. 【解法二】　取f(x)=2cosx符合条件,则T