12.3 角的平分线的性质课件2022-2023学年人教版八年级数学上册

第十二章 全等三角形 导入新课 知识探究 新课讲解 学以致用 12.3 角的平分线的性质 课堂小结 1.角平分线的概念 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 O B C A 1 2 温故知新 2.下图中能表示点P到直线l的距离的是。 线段PC的长 P l A B C D 温故知新 3.下列两图中线段AP能表示直线l1上一点P到直线l2的距离的是。 A A P P l1 l2 l1 l2 图1 图2 图1 温故知新 如图，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC。将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线。你能说明它的道理吗？ A B C (E) D 其依据是SSS，两全等三角形的对应角相等。 探究验证 A B M N C O 已知：∠AOB。 求作：∠AOB的平分线。 仔细观察步骤 作角平分线是最基本的尺规作图，大家一定要掌握噢! 动手画一画 探究验证 作法： （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 （2）分别以点MN为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 （3）画射线OC。射线OC即为所求。 已知：∠AOB。 求作：∠AOB的平分线。 A B M N C O 探究验证 如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC。在OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D、E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试。 P A O B C D E PD=PE 作图探究 探究验证 验证结论 已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。 求证：PD=PE。 P A O B C D E 证明： ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠PEO=90°。 在△PDO和△PEO中， ∠PDO=∠PEO， ∠AOC=∠BOC， OP=OP， ∴△PDO≌△PEO(AAS)。 ∴PD=PE。 探究验证 一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程。 探究验证 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离。 定理的作用： 证明线段相等。 B A D O P E C 探究验证 知识要点 应用格式： ∵OP是∠AOB的平分线， ∴PD=PE。 （在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等） 推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。 PD⊥OA，PE⊥OB， B A D O P E C 探究验证 判一判： （1）∵如图，AD平分∠BAC（已知）， ∴ = ， (在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。) BD CD × B A D C 探究验证 （2）∵如图，DC⊥AC，DB⊥AB（已知）。 ∴ = 。 ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C 探究验证 2. 如图，在△ABC 中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC， BC 分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上. 求证：AB=AD+BE. M 证明 作CM⊥AB于点M. ∵ AC，BC 分别平分∠BAD，∠ABE， ∴ CD = CM，CE = CM. 在Rt△ACD和Rt△ACM中， ∵ CM = CD，AC = AC， ∴ Rt△ACD ≌Rt△ACM. ∴ AD = AM. 同理， BE = BM. 又 AB=AM+BM， ∴ AB=AD+BE. 知2－讲 例1 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分 ∠CAB，DE⊥AB于E，F在AC上，BE＝FC， 求证：BD＝DF. 导引：要证BD＝DF，可考虑证两线段所在的 △BDE和△FDC全等，两个三角形中已有一 角和一边相等，只要再证DE＝CD即可，这 可由AD平分∠CAB及垂直条件证得． 在△BDE和△FDC中， DE=CD , ∠DEB=∠C, BE=FC,