第一章1.4.3 空间向量在夹角中的应用-【学霸黑白题·黑题】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

黑题 应用提优 03空间向量在夹角中的应用 限时：60min 4.(2023·江苏淮安高二期中)在正方体 1.(多选)已知cos(a,b)=- ,则下列说法正确 ABCD-A,B,C,D,中，点O为线段BD的中点. 的是( 设点P在线段BB,(P不与B重合)上，直线 A.若a,b分别是直线1，l2的方向向量，则直 OP与平面A,BD所成的角为&，则sina的最 线14山所成的角的余弦值是号 大值是 ( ) B.若a,b分别是直线l的方向向量与平面a 3 B号 c 的法向量，则直线【与平面α所成的角的 5.如图，在正方体ABCD-A,BCD1中，E,F分别 余弦值是 为AD,DD,的中点，则平面EFC,B和平面 BCC,所成二面角的正弦值为 C.若a,b分别是平面a,B的法向量，则平面 。B所成的角的余弦值是 D.若a,b分别是直线l的方向向量与平面a 的法向量，则直线！与平面α所成的角 (第5题) (第6题) 的正弦值是号 6.如图，平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD 2.(2022·四川宜宾高二月考)如图所示，在直 为正方形，∠PAD=90°，且PA=AD,E,F分别 三棱柱ABC-A,B,C,中，AC⊥BC,且BC= 是线段PA,CD的中点，若异面直线EF与BD 3,AC=4,CC,=3,点P在棱A4,上，且三棱 所成的角为a,则cosa= 锥A-PBC的体积为4，则直线BC,与平面PBC 7.（2023·福建泉州高二期中)如图，四棱锥 所成角的正弦值等于 ( P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,O为底面正方 C.10 D.15 形ABCD对角线的交点，E为PD的中点，且 √10 B. 6 A 5 5 PA=AD. (1)求证：PB∥平面EAC: (2)求直线BD与平面EAC所成角的正弦值. (第2题) (第3题) 3.(2023·安徽淮南高二月考)如图所示，已知四 棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且PA⊥ 平面ABCD,PA=AD=AC,点F为PC的中点， 则二面角C-BF-D的正切值为 ( B管 选择性必修第一册RJ黑白题12 8.如图，直线PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是正 10.(2023·广东广州中学高二期中)如图，已知 方形，且PA=AD=2,点E,F,G分别是线段 直三棱柱ABC-A,B,C,中，侧面AA,B,B为正 PA,PD.CD的中点 方形，AB=BC=2,E,F分别为AC和CC,的 (1)求异面直线EG与BD所成角的余弦值 中点，D为棱A,B,上的点，BF⊥A,B (2)在线段CD上是否存在一点Q,使BF⊥ (1)证明：BA⊥BC. EQ?若存在，求出DQ的长，若不存在，请 (2)当BD为何值时，平面BB,C,C与平面 说明理由 DFE所成的二面角的余弦值最大？ D B 9.(2023·福建三明一中高二月考)如图，在四 棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥底面ABCD, PA=PB,PA⊥PB,AD∥BC,AD⊥DC,AD= 2BC=2DC. (1)证明：△APD是直角三角形： (2)求平面PCD与平面PAB的夹角的余弦值. 压轴挑战 在三棱锥P-ABC中，PA,AB,AC两两垂直，D 为棱PC上一动点，PA=AC=2,AB=3.当BD 与平面PAC所成角最大时，AD与平面PBC所 成角的正弦值为 第-章黑白题13a成=0.即 C=(0.4.2).BC=(-3,0.3). (x,:),则 n.=0, 设平面BCP的一个法向量为n=(x,C +2-:=0 解得x=y,令x=y=2,得 以，则h/·店=0. (n·C=0. 24=0. 可化0.0 令y=1, n=(2,2,3).因此.点D到平面PEF的 得n=(0,1,-2).设直线BC,与平面C 更成后言 PBC所成的角为8，则in9=Ieos〈n, (2)由(1)知正=(-1,0.1)，因为E,F分别为AB,BC的中点，所以 BC1=n·G InlIBCI EF∥AG.又EFC平而PFF,所以AC∥平面PEF,所以AC到平面PEF 的距离为序：n。】司 1-61 10 T77 V个+(-2×-3*35 压轴挑战 故选C 3.D解析：如图所示，设AC与BD交于点O,连接)F.以0为坐标原 (1)证明：因为AB=2.BF=2,AF=22,所以AB2+BF=AF2,所以 点，OB,OC,OF所在直线分别为，y,:轴建立空间直角坐标系 BF⊥AB. 因为平面ABEF⊥平面ABCD,平面ABEF∩平面ABCD=AB.BFC平 设PA=AD=AG=1.则BD=3 面ABEF, 所以BF⊥平面ABCD.因为CDC平面ABCD,所以CD⊥BF. 000.o.a(o.0）ro.o7）c.号0）d-(（o, (2)解：存在，由(1)知，BF⊥平面ABCD