第一章 一元二次方程（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年九年级数学上册单元速记·巧练（苏科版）

第一章 一元二次方程（知识归纳+题型突破） 1、 理解一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的解法。 2、 会判断一元二次方程根的情况，了解一元二次方程根与系数的关系并能简单应用。 3、 会列一元二次方程解决实际问题。 （一） 一元二次方程的概念和基本形式 一元二次方程的定义是；等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． （二）根的判别式 根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． （三）根与系数的关系 根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，，． （四）一元二次方程的应用 1.数字问题：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。 2.几何问题：这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要结合几何知识检验。 3.增长率问题（下降率）：在此类问题中，一般有变化前的基数（），增长率（），变化的次数（），变化后的基数（）,这四者之间的关系可以用公式表示。 4.其它实际问题（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，则舍去）。 题型一 一元二次方程的概念、基础考点 【例1】下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x23＝0；③x2﹣4+x5＝0；④3x＝x2．其中是一元二次方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．1，4，5 B．0，， C．1，，5 D．1，， 【例3】关于x的方程是一元二次方程，则（    ） A． B． C． D． 【例4】已知是方程的根，代数式的值是 ． 巩固训练： 1、下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2、下列方程中，①，②，③，④，⑤，一元二次方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二　直接开平方法 【例5】一元二次方程可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是（　　） A． B． C． D． 【例6】用直接开平方法解方程，得方程的根是（ ） A． B． C．， D． 【例7】按要求解方程： (1)直接开平方法：； (2)； (3)（直接开平方） 【例8】用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为(　　) A．x2－5＝5 B．－3x2＝0 C．x2＋4＝0 D．(x＋1)2＝0 巩固训练 3、一元二次方程（4-2x）2-36=0的解是__________． 4、用开平方法解下列方程： (1)x2－81＝0.　　 (2)4x2－7＝0. (3)3(1－x)2＝12.　　 (4)(2x＋6)2－8＝0. 5、下列解方程的结果正确的是（ ） A. x2=-11，解得x=± B. （x-1）2=4，解得x-1=2，所以x=3 C. x2=7，解得x=± D. 25x2=1，解得25x=±1，所以x=± 6、一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是(　　) A．x－6＝－4 B．x－6＝4 C．x＋6＝4 D．x＋6＝－4 题型三　配方法 【例9】 (1) （配方法） (2) ； 【例10】用配方法解一元二次方程，则方程可变形为　　． 【例11】若将方程x2＋6x＝7化为(x＋m)2＝16，则m＝________． 【例12】若方程x2＋px＋q＝0可化为(x＋)2＝的形式，则pq＝________． 巩固训练 7、用配方法解下列方程： (1)x2－2x＝1；　 　(2)x2－6x－6＝0； (3)x2＋9＝6x； 　 　(4)(x－1)(x－3)＝8. 8、用配方法解方程x2－4x＋2＝0，下列配方正确的是 (　　) A．(x－2)2＝2 B．(x＋2)2＝2 C．(x－2)2＝－2 D．(x－2)2＝6 9、用配方法解下列方程，其中应在方程左、右两边同时加上4的是(　　) A．x2－2x＝5 B．x2－8x＝5