第一章 全等三角形模型归纳（知识拓展）-2023-2024学年八年级数学上册单元速记·巧练（苏科版）

第一章 全等三角形 拓展知识 模型 拓展1 双垂直模型 一、双垂直模型 ①双垂直中的角度关系 ②双垂直中的全等关系 ∠A=∠C ∠A=∠C，∠AFB=∠E 若AF=CE，则△ABF≌△CBE △ABC、△BEF为等腰直角三角形 典例1 例1如图，在△ABC中， AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延长线与F，E为垂直，则结论：①AD=BF；②CF=CD；③AC﹢CD=AB；④BE=CF；⑤BF=2BE．其中正确结论的个数是（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 跟踪训练1 如图，Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CF交AB于E，BD⊥CF，AF⊥CF，DF=5，AF=3，则CF=_______． 拓展2 三垂直模型 二、三垂直模型 模型描述 △ABC是等腰直角三角形， 图①为一条直线经过直角顶点A，过△ABC的外侧， 图②、③为一条直线经过直角顶点A，过△ABC的内侧， BM与CN分别垂直于过A点的直线． 核心结论：△ABM≌△CAN（AAS） 图①：MN=BM﹢CN 图②：MN=CN﹣BM 图③：MN=BM﹣CN 例2如图，锐角△ABC分别以A、B为直角顶点，向△ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF，再分别过点E、F作边AB所在直线的垂线，垂足为M，N．求证：EM﹢FN=AB． 例3．如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E． （1）证明：DE=BD﹢CE． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD﹢CE是否还成立？如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）如图（3），D、E是直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC= ∠BAC，试判断△DEF的形状． 跟踪训练2 王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（），点在上，点和分别与木墙的顶端重合． （1）求证：； （2）求两堵木墙之间的距离．    拓展3 手拉手模型 三、手拉手模型 模型要点：两个等腰三角形共顶点 常考图形 等边三角形手拉手 等腰直角三角形（正方形）手拉手 核心结论： ①△ABE≌△CBD；AE=CD ②∠AFC=∠EFD=60° 核心结论： ①△ABG≌△CBE；AG=CE ②∠AHC=∠GHE=90°（AG⊥CE） 例4 如图，正方形BAFE与正方形ACGD共点于，连接、，求证：=并求出的度数. 例5小明和同学小颖在学习了全等三角形后，研究了以下问题： （1）探索：如图2，△ABC与△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，试说明：BD=CE． （2）拓展：如图3，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=45°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．试判断线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由． 跟踪训练3 如图，为线段上一点，分别以、为边在同侧作等边和等边，交于点，交于点，求证：． 拓展4 半角模型 四、半角模型 模型描述 从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线AE、AF，并连接EF构成的几何模型 辅助线画法：延长CB，使BF′=DF，连接AF′（本质：旋转△ADF至△ABF′） 核心结论：△ADF≌△ABF′（SAS），△AEF≌△AEF′（SAS），EF=DF﹢BE 例6：如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求△AMN的周长． 跟踪训练4 如图，在四边形ABCD中，E、F分别是线段BC、CD上的点，且BE+FD=EF. 求证：. 1．如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（    ） A．8 B．4 C．3 D．2 2．如图，，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，为等腰直角三角形，，． (1)求证：； (2)求证： 4．如图，点C为线段上一点，在，中，，，，连接交于点E，连接交于点F，线段，交