2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（5大题型）精讲-【题型分类归纳】2023-2024学年高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第一册）

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 重点：1、一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数之间的关系；2、一元二次不等式的解法；3、利用一元二次不等式解决实际问题． 难点：1、一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数之间的关系；2、从实际问题中抽象出一元二次不等式模型. 一、一元二次不等式的相关概念 1、定义：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 2、一般形式：ax2＋bx＋c>0（≥0），ax2＋bx＋c<0（≤0），（其中a≠0，a，b，c均为常数） 3、一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫作这个一元二次不等式的解； 一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作这个一元二次不等式的解集； 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形。 二、一元二次不等式的解法 1、一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数的零点． 2、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 三、解一元二次不等式的一般步骤 1、判号：检查二次项的系数是否为正值，若是负值，则利用不等式的性质将二次项系数化为正值； 2、求根：计算判别式，求出相应方程的实数根； ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解 3、标根：将所求得的实数根标在数轴上（注意两实数根的大小顺序，尤其是当实数根中含有字母时）， 并画出开口向上的抛物线示意图； 4、写解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集。 口诀：大于零取（根）两边，小于零取（根）中间 五、含参数的一元二次不等式讨论依据 1、对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论； 2、当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论； 3、当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集。 题型一 解不含参数的一元二次不等式 【例1】（2022秋·河南郑州·高一校考阶段练习）不等式的解集为（ ） A．或 B． C．或 D． 【变式1-1】（2022秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）使“”成立的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2022秋·新疆巴音郭楞·高一校考阶段练习）解下列不等式． （1）； （2）． 【变式1-3】（2022秋·云南曲靖·高一会泽县实验高级中学校校考阶段练习）解下列不等式： （1）； （2） （3）. 题型二 解含参数的一元二次不等式 【例2】（2022秋·新疆喀什·高一莎车县第一中学校考阶段练习）若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2022秋·安徽滁州·高一校考阶段练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A．或 B． C． D．或 【变式2-2】（2022秋·湖南益阳·高一校考阶段练习）已知，求关于x的不等式的解集． 【变式2-3】（2022秋·山西运城·高一校考阶段练习）若，解关于的不等式 题型三 由一元二次不等式的解求参数 【例3】（2022秋·湖北·高一校联考阶段练习）设关于的不等式的解集为，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3-1】（2022秋·云南玉溪·高一云南省玉溪第一中学校考阶段练习）（多选）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法中正确的是（ ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 【变式3-2】（2022秋·辽宁鞍山·高一统考阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A．－2 B．1 C．2 D．