第09课 定点、定值问题（分层练习）-2024年新高考数学一轮复习考点逐点突破经典学案（新高考专用）

第09课 定点、定值问题 （分层练习） 【一层练基础】 1. 直线l与抛物线C：y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且满足k1k2＝，则直线l过定点(　　) A．(－3，0) B．(0，－3) C．(3，0) D．(0，3) 2. (多选)设椭圆的方程为＋＝1，斜率为k的直线不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点．下列结论正确的是(　　) A．直线AB与OM垂直 B．若点M的坐标为(1，1)，则直线AB的方程为2x＋y－3＝0 C．若直线AB的方程为y＝x＋1，则点M的坐标为 D．若直线AB的方程为y＝x＋2，则|AB|＝ 3. 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当∠F1PF2＝60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率为________． 4. 已知P(1,2)在抛物线C：y2＝2px上． (1)求抛物线C的方程； (2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点． 5. 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且其左顶点到右焦点的距离为5. (1)求椭圆的方程； (2)设点M，N在椭圆上，以线段MN为直径的圆过原点O，试问是否存在定点P，使得P到直线MN的距离为定值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6. 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，上顶点M到直线x＋y＋4＝0的距离为3. (1)求椭圆C的方程； (2)设直线l过点(4，－2)，且与椭圆C相交于A，B两点，l不经过点M，证明：直线MA的斜率与直线MB的斜率之和为定值． 7. 已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B. (1)证明：直线AB过定点； (2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程． 8. 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，且经过点A. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点B(4,0)作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，记点P关于x轴对称的点为P′.证明：直线P′Q经过x轴上一定点D，并求出定点D的坐标． 9. 设F1，F2为椭圆C：＋＝1(b>0)的左、右焦点，M为椭圆上一点，满足MF1⊥MF2，已知△MF1F2的面积为1. (1)求椭圆C的方程； (2)设C的上顶点为H，过点(2，－1)的直线与椭圆交于R，S两点(异于H)，求证：直线HR和HS的斜率之和为定值，并求出这个定值． 10. 已知抛物线C：y2＝2px经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N. (1)求直线l的斜率的取值范围； (2)设O为原点，＝λ，＝μ，求证：＋为定值． 【二层练综合】 1. 椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，直线AB的斜率为－，△OAB的面积为1. (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆上有两点M，N(异于椭圆顶点，且MN与x轴不垂直)，证明：当△OMN的面积最大时，直线OM与ON的斜率之积为定值． 2. 已知动圆C过定点F(1，0)，且与定直线x＝－1相切． (1)求动圆圆心C的轨迹E的方程； (2)过点M(－2，0)的任一条直线l与轨迹E交于不同的两点P，Q，试探究在x轴上是否存在定点N(异于点M)，使得∠QNM＋∠PNM＝π？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 3. 已知P是圆F1：(x＋1)2＋y2＝16上任意一点，F2(1,0)，线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q，当点P在圆F1上运动时，记点Q的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)记曲线C与x轴交于A，B两点，M是直线x＝1上任意一点，直线MA，MB与曲线C的另一个交点分别为D，E，求证：直线DE过定点H(4,0)． 4. 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋12＝0相切． (1)求椭圆C的方程； (2)设A(－4，0)，过点R(3，0)作与x轴不重合的直线交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ分别交直线x＝于M，N两点，若直线MR，NR的斜率分别为k1，k2，试问：k1k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【三层练能力】 1. 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，长轴长为4. (1)求椭圆C的方程； (2)设过点F1不与x轴重合的直线l与椭圆C相交于E，D两点，试问在x轴上是否存在一个