1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题自学案——2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题自学案 学习目标 1. 能用向量法解决点到直线、点到平面、相互平行直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题，并能解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 2. 掌握用向量方法解决立体几何问题的“三步曲”。 3. 了解向量法、综合法与坐标法的特点，能够根据具体问题的特点选择合适的方法。 4. 体会几何直观与代数运算之间的融合，通过数与形的结合，感悟数学知识之间的关联，加强对数学整体性的理解，发展直观想象、数学运算的核心素养。 1、 知识清单 1. 距离 （1）直线外一点到直线的距离 如图，是直线的单位方向向量，在直线上的投影向量为在中，由勾股定理，得 （2）两平行直线之间的距离 （转化为点到直线的距离）在其中一条直线上取定一点，将所求转化为直线外一点到直线的距离。 （3） 两异面直线之间的距离 如图，在上分别取点，求出与的方向向量都垂直的向量，则在向量上的投影向量的长度即为异面直线的距离，为。 （4） 平面外一点到平面的距离 如图，设平面的法向量为，在直线的投影向量为，则点P到平面的距离PQ=______________。 （5） 平面的线面、面面间的距离 转化为平面外一点到平面的距离。 2. 夹角 （1） 异面直线所成角 设异面直线与所成角为，与的方向向量分别为，则，其中的取值范围是_________。 （2） 线面所成角 设直线AB与平面所成角为，直线AB的方向向量为，平面的法向量为，则，其中的取值范围是_________。 （3） 面面夹角 设平面与平面的夹角为，平面的法向量为，则，其中的取值范围是_________。 问：（1）直线与平面平行时，直线到平面的距离一般如何求解？ （2） 两平面的夹角与两平面的法向量的夹角有何关系？ （3）两平面的夹角与这两平面形成的二面角有什么关系？ 2、 自我检测 1. 已知直线过定点A(2,3,1)，且为其一个方向向量，则点P(4,3,2)到直线的距离为___________。 2. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别为棱A1B1,BB1的中点，则异面直线AM与CN的距离为____________。 3. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别是线段BB1,B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为__________. 4. （多选题）已知直线的方向向量为，平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则直线//平面 B. 若，则直线⊥平面 C. 若，则直线与平面所成角的大小为 D. 若，则平面的夹角为 5. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，.（1）求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值；（2）求直线BC1与平面AB1C所成角的正弦值。 6.直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 7. 如图,在三棱锥中,平面,, ,,,. （Ⅰ）求证:平面； （Ⅱ）求平面ASD与平面SDC夹角的余弦值； （Ⅲ）求点到平面的距离. 自我检测答案 1. ； 2. ；3. ； 4. BCD; 5. 解：（1）依题意可知B1A,B1C1,B1B两两互相垂直，以B1为原点，的方向分别为、、轴的正方向，建立空间直角坐标系，则A(2,0,1),B1(0,0,0),B(0,0,1),C(0,1,1), C1(0,1,0),，设异面直线AB1与BC1所成的角为，则，所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值。 （3） 由（1）可得，设平面AB1C的法向量为，则令x=1,则y=2,z=-2，故，设直线BC1与平面AB1C所成角为，则，所以直线BC1与平面AB1C所成角的正弦值为。 6.证明：在直三棱柱中，平面，且，则 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如下图所示,则、、、、、、、、，则， （1）易知平面的一个法向量为，则，故， 平面，故平面. （2），，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，. 因此，直线与平面夹角的正弦值为. （3），， 设平面的法向量为，则， 取，可得，则， 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 7.如图,以为原点建立空间直角坐标系,依题意可得 ,,,,． ……………（1 分） （Ⅰ）证明:因为,,, 所以,. 即,． …………（3 分） 因为, 所以平面． ……………（4 分） （Ⅱ）解: 由（Ⅰ）可知为 平面的一个法向量． ………（5 分） 设平面的法向量为, 而,, 则即不妨设,可得．