第33讲　平面向量的概念及其线性运算-2024高三一轮复习讲义

第33讲　平面向量的概念及其线性运算 1、 基础知识 1.向量的有关概念及表示 名称 定义 表示 向量 既有　　　　又有　　　　的量称为向量  用a,b,c,…或,,…表示 向量的模 向量的　　　　,也称为向量的模(或长度)  　　　　或　　　　  零向量 始点和　　　　相同的向量称为零向量,零向量的方向是不确定的  记作　　　　  单位向量 模等于　　　　的向量称为单位向量  用e表示,|e|= 　　　　  相等向量 把　　　相等、　　　　相同的向量称为相等的向量  向量a和b相等, 记作　　　  两个向量平行 (或共线) 如果两个非零向量的方向　　　　或者　　　　,则称这两个向量平行,两个向量平行也称为两个向量共线  两个向量a和b平行,记作　　　　,零向量与任意向量　　　　  2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量　 　　的运算  　　 　　法则  　 　　　法则  (1)加法交换律: a+b=　　　　;  (2)加法结合律: (a+b)+c=　　　　　　  减法 减去一个向量相当于加上这个向量的　　 　　　  　　　 　法则  a-b=　　　　  数乘 实数λ与向量 a　　　　的运算  (1)当λ≠0且a≠0时,|λa|=　　　　.  (2)当λ>0时,λa与a的方向　　　　; 当λ<0时,λa与a的方向　　　　; 当λ=0或a=0时,λa=　　　　  λ(μa)=　　　　;  (λ+μ)a=　　　　;  λ(a+b)=　　　  3.向量三角不等式:||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,||a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|. 【核心概念与思想方法】 平面向量的平行四边形法则与数形结合:若平行四边形ABCD满足|+|=|-|,则该平行四边形为　　　　.  2、 常用结论 1.一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量,即+++…+=.特别地,一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量. 2.△ABC中的常见结论: (1)++=0⇔P为△ABC的重心; (2)·=·=·⇔P为△ABC的垂心; (3)(+)·=(+)·=(+)·⇔O为△ABC的外心; (4)若P为△ABC的重心,则=(+). 3.若F为线段AB的中点,O为平面内任意一点,则=(+). 3、 分类探究 探究点一　平面向量的基本概念 例1 给出下列说法: (1)两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同; (2)若A,B,C,D是不共线的四个点,则“=”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件; (3)“a=b”的充要条件是“|a|=|b|且a∥b”; (4)若a,b满足|a|>|b|且a与b同向,则a>b. 其中正确说法的个数是 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 [总结反思] (1)解决向量的概念问题要注意两点:一是不仅要考虑向量的大小,还要考虑向量的方向;二是考虑零向量是否也满足条件,要特别注意零向量的特殊性. (2)只要不改变向量a的大小和方向,可以自由平移a,平移后的向量与a相等. (3)在研究向量的有关问题时,一定要结合图形进行分析、判断、求解,这是研究平面向量最重要的方法与技巧. 变式题 (多选题)下列命题为真命题的是 (　　) A.若a与b为非零向量,且a∥b,则a+b必与a或b平行 B.若e为单位向量,且a∥e,则a=|a|e C.两个非零向量a,b,若|a-b|=|a|+|b|,则a与b共线且反向 D.“两个向量平行”是“这两个向量相等”的必要不充分条件 探究点二　平面向量的线性运算背景问题 微点1　平面向量的线性运算 例2 (1) 如图6-33-2,四边形ABCD为正方形,△ADE为等腰直角三角形,F为线段AE的中点,设向量=a,=b,则= (　　) 图6-33-2 A.-a+b B.a+b C.-a+b D.a+b (2)若正六边形ABCDEF的边长为2,中心为O,则|++|= (　　) A.2 B.2 C.4 D.4 [总结反思] 向量线性运算的解题策略: (1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连的向量的和用三角形法则. (2)找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解. (3)用几个基本向量表示某个向量问题的一般步骤: ①观察各向量的位置; ②寻找相应的三角形或多边形; ③运用法则找关系; ④化简结果. 微点2　平面向量的加、减运算的几何意义的应用 例3 (1)已知点D在△ABC的边AC上,CD=2DA,点E是BD中点,则=