专题01 集合、集合间的关系、集合的运算（重难点突破）-【课后优辅导】2023年秋季高一数学上学期精品讲义（人教A版2019）

专题一 集合、集合间的关系、集合的运算 1.集合的概念及其表示 ⑴.集合中元素的三个特征： ①．确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了． ②．互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的. ③．无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。 ⑵.元素与集合的关系有且只有两种：属于（用符号“”表示）和不属于（用符号“”表示）． ⑶.集合常用的表示方法有三种：列举法、Venn图、描述法． (4).常见的数集及其表示符号 名称 自然数集 (非负整数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 表示符号 N 或 Z Q R 2.集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn图 子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B) A⊆B (或B⊇A) 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 AB (或BA) 集合相等 集合A，B中元素完全相同或集合A，B互为子集 A＝B 【名师提醒】 子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集. 3.集合之间的基本运算 如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为 全集 ，全集通常用字母 U 表示； 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形 符号 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 【名师提醒】 1．若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n－1，非空真子集个. 2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B .3．奇数集：. 4. 德▪摩根定律： ①并集的补集等于补集的交集，即； ②交集的补集等于补集的并集，即． 【名师点睛】 1.判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性. 2. 集合中的元素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值(范围)时，需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求． 3．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识． 4.利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题． 5.求集合并集的两种基本方法： （1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解； （2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴求解. 6.求集合交集的方法为： （1）定义法， （2）数形结合法． （3）若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示． 考点1 集合的概念及其表示 归纳总结：与集合中的元素有关问题的求解策略 (1)确定集合的元素是什么，即集合是（数轴）数集、（平面直角坐标系）点集还是其他类型的集合． (2)看这些元素满足什么限制条件． (3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 例1.（1）、（集合的确定性）（2023·河北·高三学业考试）下列各组对象不能构成集合的是（    ） A．所有直角三角形 B．抛物线上的所有点 C．某中学高一年级开设的所有课程 D．充分接近的所有实数 （2）、（集合的互异性）（2021·河南宋基信阳实验中学高一阶段练习）已知集合，若，则实数___________. （3）、（集合的新定义）（2020秋·河南郑州·高一郑州外国语学校校考阶段练习）已知集合，则A中元素的个数为 . 1、（2022秋·上海浦东新·高一统考期末）请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上 . ①上海市2022年入学的全体高一年级新生； ②在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点； ③影响力比较大的中国数学家； ④不等式的所有正整数解. 2、（2022·高一校考课时练习）（多选题）已知集合，且，则的可能取值有（    ） A．1 B． C．3 D．2 3、（2023·全国·高一专题练习）已知集合A满足，，若，则集合A所有元素之和为（ ） A．0 B．1 C． D． 考点2 元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. (2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. (3)常见的数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集