高效作业(二) 空间向量的应用-【优化探究】2025年高二数学暑假高效作业（新教材，人教版）

􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 高效作业(二)　空间向量的应用 一、选择题 １．(多选)若n１ 是平面α的一个法向量,n２ 是平 面β的一个法向量,A,B 是直线b上不同的 两点,则以下命题正确的是 (　　) A．b∥α⇔n１􀅰AB→＝０ B．α⊥β⇔n１􀅰n２＝０ C．α∥β⇔∃λ∈R,使得n１＝λn２ D．设α与β的夹角为θ,则cosθ＝|cos(n１, n２)| 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２􀅰 ２．已知向量n＝(２,０,１)为平面α的法向量, 点A(－１,２,１)在α内,则点P(１,２,２)到 平面α的距离为 (　　) A．５５　　　　　　　　B．５ C．２ ５ D．５１０ ３．如 图,已 知 长 方 体 ABCDＧA１B１C１D１ 中, AD＝AA１＝１,AB＝３,E 为线段AB 上一 点,且AE＝１３AB ,则DC１ 与平面D１EC 所 成角的正弦值为 (　　) A．３ ３５３５ B． ２ ７ ７ C．３３ D． ２ ４ ４．在棱长为１的正方体ABCDＧA１B１C１D１ 中, E 为A１D１ 的中点,则点C１ 到直线CE 的距 离为 (　　) A．１３ B． ３ ３ C．５３ D． ６ ３ ５．如图,D 是正方体的一个“直角尖”OＧABC (OA,OB,OC 两两垂直且相等)点 D 为棱 OB 的中点,P 是BC 中点,Q 是AD 上的一 个动点,连接PQ,则当AC 与PQ 所成角为 最小时,AQ∶QD＝ (　　) A．２３ B． ４ ３ C．３２ D．２ ６．(多选)如 图,在 直 三 棱 柱 ABCＧA１B１C１ 中,AC ＝BC＝AA１＝２,∠ACB ＝９０°,D,E,F 分 别 为 AC,AA１,AB 的中点,则下列结论正确的 是 (　　) A．AC１ 与EF相交 B．B１C１∥平面DEF C．EF与AC１ 所成的角为９０° D．点B１ 到平面DEF的距离为 ３ ２ ２ 二、填空题 ７．已知２a＋b＝(０,－５,１０),c＝(１,－２,－２), a􀅰c＝４,|b|＝１２,则以b,c为方向向量的两 直线的夹角为　　　　． ８．如图所示,在四棱锥PＧABCD 中,侧面PAD ⊥底面 ABCD,侧棱 PA＝PD＝ ２,PA⊥ PD,底面 ABCD 为直角梯形,其中 BC∥ AD,AB⊥AD,AB＝BC＝１,O 为AD 的 中点． (１)直线PB 与平面POC 所成角的余弦值为 　　　　; (２)点B 到平面PCD 的距离为　　　　． 三、解答题 ９．已知正方形ABCD 的边长为１,PD⊥平面 ABCD,且PD＝１,E,F 分别为AB,BC 的 中点． (１)求点D 到平面PEF 的距离; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３􀅰 (２)求直线AC到平面PEF 的距离． １０．如图１,在△ABC 中,∠ACB＝４５°,BC＝３, 过点A 作AD⊥BC,垂足D 在线段BC 上, 沿AD 将△ABD 折起,使∠BDC＝９０°(图 ２),点E,M 分别为棱BC,AC的中点． (１)求证:CD⊥ME; (２)已知　　　　(在后面三个条件中任选 一个,补充在横线上),试在棱CD 上确定一 点N,使得EN⊥BM,并求二面角MＧBNＧC 的余弦值(如果选择多个条件分别解答,按 第一个解答计分)．条件①:图１中tan２B＝ －４３． 条件②:图１中AD→＝２３AB →＋１３AC →．条 件③:图２中三棱锥AＧBCD 的体积为２３． 结论: １．确定平面的法向量 (１)直接法:观察是否有垂直于平面的法