高效作业(十九) 导数的概念及其运算-【优化探究】2025年高二数学暑假高效作业（新教材，北师大版）

高效作业(十九)　导数的概念及其运算 １．导数的概念 (１)函数y＝f(x)在x＝x０ 处的导数:函数y ＝f(x)在x＝x０ 处的瞬时变化率lim Δx→０ Δy Δx＝ lim Δx→０ f(x０＋Δx)－f(x０) Δx 为函数y＝f(x)在x ＝x０ 处的导数,记作f′(x０)或y′|x＝x０,即 f′(x０)＝lim Δx→０ Δy Δx＝limΔx→０ f(x０＋Δx)－f(x０) Δx ． (２)导数的几何意义:函数f(x)在x＝x０ 处 的导数f′(x０)的几何意义是在曲线y＝ f(x)上点P(x０,y０)处的切线的斜率(瞬时 速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相 应地,切线方程为y－y０＝　　　　． ２．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝xn(n∈Q∗) f′(x)＝　　　　 f(x)＝sinx f′(x)＝　　　　 f(x)＝cosx f′(x)＝　　　　 f(x)＝ax(a＞０,且a≠１) f′(x)＝　　　　 f(x)＝ex f′(x)＝　　　　 f(x)＝logax(a＞０, 且a≠１) f′(x)＝ １xlna f(x)＝lnx f′(x)＝１x ３．导数的运算法则 (１)[f(x)±g(x)]′＝　　　　　; (２)[f(x)􀅰g(x)]′＝　　　　　; (３)f (x) g(x) é ë êê ù û úú′＝　　　　　　　　　． 一、选择题 １．f(x)＝x(２０１８＋lnx),若f′(x０)＝２０１９, 则x０ 等于 (　　) A．e２　　　　　　　　B．１ C．ln２ D．e ２．曲线y＝x３＋１１在点P(１,１２)处的切线与y 轴交点的纵坐标是 (　　) A．－９ B．－３ C．９ D．１５ ３．已知f′(x)是函数f(x)的导数,f(x)＝ f′(１)􀅰２x＋x２,则f′(２)＝ (　　) A．１２－８ln２１－２ln２ B． ２ １－２ln２ C． ４１－２ln２ D．－２ ４．设函数f(x)＝x３＋ax２,若曲线y＝f(x)在点 P(x０,f(x０))处的切线方程为x＋y＝０,则点 P的坐标为 (　　) A．(０,０) B．(１,－１) C．(－１,１) D．(１,－１)或(－１,１) ５．设曲线f(x)＝－ex－x(e为自然对数的底 数)上任意一点处的切线为l１,总存在曲线 g(x)＝３ax＋２cosx 上某点处的切线l２,使 得l１⊥l２,则实数a的取值范围是 (　　) A．[－１,２] B．(３,＋∞) C．－２３ ,１ ３ é ë êê ù û úú D．－ １ ３ ,２ ３ é ë êê ù û úú ６．(多选题)已知函数f(x)及其导函数f′(x), 若存在x０ 使得f(x０)＝f′(x０),则称x０ 是 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４４􀅰 f(x)的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值 点”的函数是 (　　) A．f(x)＝x２ B．f(x)＝e－x C．f(x)＝lnx D．f(x)＝tanx 二、填空题 ７．若函数f(x)＝ax４＋bx２＋c满足f′(１)＝２, 则f′(－１)＝　　　　． ８．若曲线y＝alnx＋x２(a＞０)的切线的倾斜角 的取值范围是 π ３ ,π ２ é ë êê ö ø ÷,则a＝　　　　． ９．已知函数f(x)为奇函数,当x＜０时,f(x) ＝e－x＋１x ,则x＞０时,f(x)＝　　　　; f(１)＋f′(１)＝　　　　． １０．如图,y＝f(x)是可导 函数,直线l:y＝kx＋２ 是曲线y＝f(x)在x＝３ 处的 切 线,令 g(x)＝ xf(x),则曲线g(x)在x＝３处的切线方程 为　　　　． 三、解答题 １１．求下列函数的导数． (１)y＝(１－ x)１＋ １ x æ è ç ö ø ÷; (２)y＝x􀅰tanx; (３)y＝xsin２x＋π２ æ è ç ö ø ÷cos２x＋π２ æ è ç ö ø ÷． １２．已知曲线y＝x３＋x－２在点P０ 处的切线 l１ 平行于直线４x－y－１＝０,且点P０ 在第 三象限． (１)求P０ 的坐标; (２)若直线l⊥l１,且l也过切点