高效作业(十三) 二项分布与超几何分布、正态分布-【优化探究】2025年高二数学暑假高效作业（新教材，北师大版）

高效作业(十三)　二项分布与超几何分布、正态分布 １．二项分布 (１)定义 一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中 事件A 发生的概率为p(０＜p＜１),用X 表 示事件A 发生的次数,则X 的分布列为 P(X＝k)＝Cknpk(１－p)n－k,k＝０,１,２, 􀆺,n． 则称随机变量 X 服从二项分布,记作 X~ B(n,p)． (２)X~B(n,p)的数字特征 ①E(X)＝　　　　; ②D(X)＝　　　　． ２．超几何分布 (１)定义 一般地,假设一批产品共有N 件,其中有 M 件次品．从 N 件产品随机抽取n 件(不放 回),用X 表示抽取的n 件产品中次品数,则 X 的分布列为 P(X＝k)＝ CkMCn－kN－M CnN ,k＝m,m＋１,m＋２, 􀆺,r． 其中n,N,M ∈N∗,M ≤N,n≤N,m＝ max{０,n－N＋M},r＝min{n,M}．如果随机 变量X 的分布列具有上述形式,那么称随机 变量X 服从超几何分布． (２)随机变量X 服从超几何分布的数字特征 ①E(X)＝　　　　; ②D(X)＝nM (N－M)(N－n) N２(N－１) ． ３．正态分布 (１)正态曲线的特点 ①曲线位于x轴上方,与x轴不相交; ②曲线是单峰的,它关于直线　　　　对称; ③曲线在x＝μ处达到峰值　　　　; ④曲线与x轴之间的面积为１; ⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随 着μ的变化而沿x 轴平移; ⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小, 曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越 大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散． (２)正态分布的三个常用数据 ①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈０．６８２７; ②P(μ－２σ≤X≤μ＋２σ)≈０．９５４５; ③P(μ－３σ≤X≤μ＋３σ)≈０．９９７３． 一、选择题 １．甲、乙两名运动员练习定点投球,已知在该点 每次投篮甲命中的概率是０．８,乙命中的概 率是０．９,每人投两次,则甲、乙都恰好命中 一次的概率为 (　　) A．０．３２　　　　　　　　B．０．１８ C．０．５０ D．０．０５７６ ２．甲、乙、丙三人参加一次考试,他们合格的概 率分别为２ ３ ,３ ４ ,２ ５ ,那么三人中恰有两人合 格的概率是 (　　) A．２５ B． １１ ３０ C．７１５ D． １ ６ ３．经统计,某市高三学生期末数学成绩 X~ N(８５,σ２),且P(８０＜X＜９０)＝０．３,则从该 市任选一名高三学生,其成绩不低于９０分的 概率是 (　　) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７２􀅰 A．０．３５ B．０．６５ C．０．７ D．０．８５ ４．设 袋 中 有 两 个 红 球 一 个 黑 球,除 颜 色 不 同,其他均相同,现有放回地抽取,每次抽 取一个,记下颜色后放回袋中,连续摸三 次,X 表示三次中红球被摸中的次数,每 个小球被抽取的几率相同,每次抽取相对 独立,则方差D(X)＝ (　　) A．２ B．１ C．２３ D． ３ ４ ５．已知某１０件产品中含有次品,从这１０件产 品中抽取２件进行检查,其次品数为ξ．若 P(ξ＝１)＝ １６ ４５ ,且该产品的次品率不超过 ４０％,则这１０件产品的次品率为 (　　) A．１０％ B．２０％ C．３０％ D．４０％ ６．(多选题)在某市的一次学情检测中,学生的 数学成绩X(满分为１５０分)服从正态分布 N(１００,１００),其中９０分为及格线,１２０分为 优秀线,则下列说法正确的是 (　　) A．该市学生数学成绩的期望为１００ B．该市学生数学成绩的标准差为１００ C．该市学生数学成绩的及格率超过０．８ D．该市学生数学成绩不及格的人数和优秀 的人数大致相等 二、填空题 ７．已知两个随机变量X,Y 满足X＋２Y＝４,且 X~N(１,２２),则E(Y)＝　　　　,D(Y)＝ 　　　　． ８．在一次招聘中,主考官要求应聘者从６道备 选题中一次性随机抽取３道题,并独立完成 所抽取的３道题．乙能正确完成每道题的概 率为２ ３ ,且每道题完成与否互不影响．记乙能 答对的题数为Y,则Y 的数学期望为　　 　　． ９．已知随机变量X 服从正