高效作业(十二) 离散型随机变量及其分布列均值与方差-【优化探究】2025年高二数学暑假高效作业（新教材，北师大版）

􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 高效作业(十二)　离散型随机变量及其分布列　均值与方差 １．离散型随机变量的分布列 (１)随着试验结果变化而　　　　　叫作随 机变量．所有取值可以　　　　　　的随机 变量叫作离散型随机变量． (２)一般地,若离散型随机变量X 可能取的 不同值为x１,x２,􀆺,xi,􀆺,xn,X 取每一个 值xi(i＝１,２,􀆺,n)的概率P(X＝xi)＝pi, 则称表 X x１ x２ 􀆺 xi 􀆺 xn P p１ p２ 􀆺 pi 􀆺 pn 为离散型随机变量X 的　　　　　　　,简 称为X 的分布列,具有如下性质: ①　　　　　　　　; ②　　　　　　　　． 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等 于它取这个范围内各个值的　　　　． ２．均值 (１)定义:一般地,若离散型随机变量X 的分 布列为: X x１ x２ 􀆺 xi 􀆺 xn P p１ p２ 􀆺 pi 􀆺 pn 则称E(X)＝x１p１＋x２p２＋􀆺＋xipi＋􀆺＋ xnpn 为随机变量X 的均值或数学期望．它 反映了离散型随机变量取值的平均水平． (２)性质:①E(aX＋b)＝aE(X)＋b; ②E(X１＋X２)＝E(X１)＋E(X２)． ３．方差 (１)定义 设离散型随机变量X 的分布列为: X x１ x２ 􀆺 xi 􀆺 xn P p１ p２ 􀆺 pi 􀆺 pn 则(xi－E(X))２ 描述了xi(i＝１,２,􀆺,n)相 对于 均 值E(X)的 偏 离 程 度,而 D(X)＝ ∑ n i＝１ (xi－E(X))２pi 为这些偏离程度的加权 平均,刻画了随机变量X 与其均值E(X)的 平均偏离程度,称D(X)为随机变量X 的方 差,并称其算术平方根 D(X)为随机变量X 的标准差． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４２􀅰 (２)性质: ①D(aX＋b)＝a２D(X); ②D(X)＝E(X２)－[E(X)]２． 一、选择题 １．设随机变量X 的分布列如下: X １ ２ ３ ４ ５ P １１２ １ ６ １ ３ １ ６ p 则p为 (　　) A．１６　　　　　　　　　　B． １ ３ C．１４ D． １ １２ ２．口袋中有５个形状和大小完全相同的小 球,编号分别为０,１,２,３,４,从 中 任 取３ 个球,以 X 表 示 取 出 球 的 最 小 号 码,则 E(X)＝ (　　) A．０．４５ B．０．５ C．０．５５ D．０．６ ３．(多选题)设离散型随机变量X 的分布列为 X ０ １ ２ ３ ４ P q ０．４ ０．１ ０．２ ０．２ 若离散型随机变量Y 满足Y＝２X＋１,则 下列结果正确的有 (　　) A．q＝０．１ B．E(X)＝２,D(X)＝１．４ C．E(X)＝２,D(X)＝１．８ D．E(Y)＝５,D(Y)＝７．２ ４．一只袋内装有m 个白球,n－m 个黑球,连续 不放回地从袋中取球,直到取出黑球为止,设 此时 取 出 了 X 个 白 球,下 列 概 率 等 于 (n－m)A２m A３n 的是 (　　) A．P(X＝３) B．P(X≥２) C．P(X≤３) D．P(X＝２) ５．(多选题)某人参加一次测试,在备选的１０ 道题中,他能答对其中的５道．现从备选的 １０道题中随机抽出３道题进行测试,规定 至少答对２题才算合格．则下列选项正确 的是 (　　) A．答对０道题和答对３道题的概率相同,都为１８ B．答对１道题的概率为３８ C．答对２道题的概率为５１２ D．合格的概率为１２ ６．甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得 １分,负者得０分,比赛进行到有一人比对方 多２分或打满６局时停止,设甲在每局中获 胜的概率为２ ３ ,乙在每局中获胜的概率为１ ３ , 且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局 数ξ的期望E(ξ)为 (　　) A．２４１８１ B． ２６６ ８１ C．２７４８１ D． ６７０ ２４３ 二、填空题 ７．某射击选手射击环数的分布列为 X ７ ８ ９ １０ P ０．３ ０．３ a b 若射击不小于９环为优秀,其射击一次的优 秀率为　　　　． ８．若随机变量ξ的分布列如表所示,E(ξ)＝ １．６,则a－b＝　　　　． ξ ０ １ ２ ３ P ０．１