高效作业(六) 抛物线-【优化探究】2025年高二数学暑假高效作业（新教材，北师大版）

高效作业(六)　抛物线 １．抛物线的定义 平面内与一个定点F 和一条定直线l(点F 不在直线l上)的距离相等的点的轨迹叫作 抛物线,定点F叫作抛物线的焦点,定直线l 叫作抛物线的准线． ２．抛物线的标准方程和几何性质 标准 方程 y２＝２px (p＞０) y２＝－２px (p＞０) x２＝２py (p＞０) x２＝－２py (p＞０) p的几何意义:焦点F 到准线l的距离 图形 顶点 O(０,０) 对称 轴 x轴 y轴 焦点 　　　 　　　 　　　 　　　 离心 率 e＝１ 准线 方程 　　　 　　　 　　　 　　　 范围 x≥０, y∈R x≤０, y∈R y≥０, x∈R y≤０, x∈R 开口 方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 (其中 P(x０, y０)) |PF|＝ 　　　 |PF|＝ 　　　 |PF|＝ 　　　 |PF|＝ 　　　 一、选择题 １．若动点M(x,y)到点F(４,０)的距离比它到 直线x＋５＝０的距离小１,则点 M 的轨迹方 程是 (　　) A．x＋４＝０　　　　　　B．x－４＝０ C．y２＝８x D．y２＝１６x ２．若抛物线x２＝２py(p＞０)的焦点与椭圆y ２ ９ ＋x ２ ５＝１ 的上焦点重合,则该抛物线的准线 方程为 (　　) A．y＝－１ B．y＝１ C．y＝－２ D．y＝２ ３．过抛物线y２＝４x的焦点的直线l交抛物线 于P(x１,y１),Q(x２,y２)两点,如果x１＋x２＝ ６,则|PQ|＝ (　　) A．９ B．８ C．７ D．６ ４．已知点 M 是抛物线x２＝４y上的一动点,F 为抛物线的焦点,A 是圆C:(x－１)２＋(y－ ４)２＝１上一动点,则|MA|＋|MF|的最小值 为 (　　) A．３ B．４ C．５ D．６ ５．已知F为抛物线C:y２＝６x 的焦点,过点F 的直线l与C 相交于A,B 两点,且|AF|＝ ３|BF|,则|AB|＝ (　　) A．６ B．８ C．１０ D．１２ ６．(多选题)已知抛物线C:y２＝２px(p＞０)的 焦点为F,直线的斜率为 ３且经过点F,直线 l与抛物线C 交于A,B 两点(点A 在第一象 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１１􀅰 限),与抛物线的准线交于点D,若|AF|＝４, 则以下结论正确的是 (　　) A．p＝２ B．F为AD 中点 C．|BD|＝２|BF| D．|BF|＝２ 二、填空题 ７．过点P(－２,３)的抛物线的标准方程为　　 　　． ８．已知抛物线C 与双曲线x２－y２＝１有相同 的焦点,且顶点在原点,则抛物线C 的方程 为　　　　． ９．设抛物线y２＝８x的准线与x 轴交于点Q,若 过点Q 的直线l与抛物线有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是　　　　． １０．已知抛物线y２＝２px(p＞０)的焦点为F,M 为抛物线上一点,O为坐标原点．△OMF 的 外接圆N 与抛物线的准线相切,外接圆 N 的周长为９π． (１)抛物线的方程为　　　　; (２)已知不与y轴垂直的动直线l与抛物线有 且只有一个公共点,且分别交抛物线的准线和 直线x＝３于A,B两点,则|AF||BF|＝　　　　． 三、解答题 １１．已知过抛物线y２＝２px(p＞０)的焦点,斜率 为２ ２的直线交抛物线于 A(x１,y１),B (x２,y２)(x１＜x２)两点,且|AB|＝９． (１)求该抛物线的方程; (２)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若 OC → ＝OA → ＋λOB →,求λ的值． １２．已知抛物线C:y２＝３x的焦点为F,斜率为 ３ ２ 的直线l与C 的交点为A,B,与x轴的交 点为P． (１)若|AF|＋|BF|＝４,求C的方程; (２)若AP → ＝３PB →,求|AB|． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 �