高效作业(四) 椭圆-【优化探究】2025年高二数学暑假高效作业（新教材，北师大版）

高效作业(四)　椭圆 １．椭圆的定义 平面内与两个定点F１,F２ 的距离的和等于 常数２a(２a＞|F１F２|)的动点P 的轨迹叫作 椭圆,这两个定点F１,F２ 叫作椭圆的焦点． ２．椭圆的几何性质 标准 方程 x２ a２ ＋y ２ b２ ＝１ (a＞b＞０) y２ a２ ＋x ２ b２ ＝１ (a＞b＞０) 范围 |x|≤a,|y|≤b |x|≤b,|y|≤a 对称 性 关于x轴,y轴对称,关于原点中心对称 顶点 坐标 (a,０),(－a,０), (０,b),(０,－b) (b,０),(－b,０), (０,a),(０,－a) 焦点 坐标 　　　　 　　　　 半轴长 长半轴长为a,短半轴长为b,a＞b 离心率 e＝ca a,b,c 的关系 a２＝　　　　 一、选择题 １．已知两圆C１:(x－４)２＋y２＝１６９,C２:(x＋ ４)２＋y２＝９,动圆M 在圆C１ 内部且和圆C１ 相内切,和圆C２ 相外切,则动圆圆心M 的轨 迹方程为 (　　) A．x ２ ６４－ y２ ４８＝１　　　　　　B． y２ ６４＋ x２ ４８＝１ C．x ２ ４８－ y２ ６４＝１ D． x２ ６４＋ y２ ４８＝１ ２．已知椭圆 x ２ １１－m＋ y２ m－３＝１ 的长轴在y 轴 上,且焦距为４,则m 等于 (　　) A．５ B．６ C．９ D．１０ ３．已知椭圆x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)的离心率为 １ ３ ,则a b＝ (　　) A．９８ B． ３ ２ ２ C．４３ D． ３ ２ ４ ４．焦点在x轴上的椭圆方程为x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞ b＞０),短轴的一个端点和两个焦点相连构成 一个三角形,该三角形内切圆的半径为b ３ ,则 椭圆的离心率为 (　　) A．１４ B． １ ３ C．１２ D． ２ ３ ５．已知椭圆G的中心为坐标原点O,点F,B 分 别为椭圆G 的右焦点和短轴端点．点O 到直 线BF 的距离为 ３,过F 垂直于椭圆长轴的 弦长为２,则椭圆G的方程是 (　　) A．x ２ ４＋ y２ ２＝１ B． y２ ４＋ x２ ２＝１ C．x ２ １６＋ y２ ４＝１ D． y２ １６＋ x２ ４＝１ ６．(多选题)已知椭圆C 的中心为坐标原点,焦 点F１,F２ 在y轴上,短轴长等于２,离心率为 ６ ３ ,过焦点F１ 作y轴的垂线交椭圆C 于P, Q 两点,则下列说法正确的是 (　　) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７􀅰 A．椭圆C的方程为y ２ ３＋x ２＝１ B．椭圆C的方程为x ２ ３＋y ２＝１ C．|PQ|＝２ ３３ D．△PF２Q 的周长为４ ３ 二、填空题 ７．已知点F１,F２ 分别是椭圆 x２ ２５＋ y２ ９＝１ 的 左、右焦点,点P 在此椭圆上,则椭圆离心 率为 　 　 　 　,△PF１F２ 的 周 长 为 　 　 　　． ８．椭圆x ２ ４＋y ２＝１的左、右焦点分别为F１,F２, 过F１ 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一 个交点为P,则|PF２|＝　　　　． ９．设椭圆的两个焦点分别为F１,F２,过点F２ 作 椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F１PF２ 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为　　 　　． １０．已知A,B 是椭圆E:x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０) 上的两点,且A,B 关于坐标原点对称,F 是 椭圆的一个焦点,若△ABF 面积的最大值 恰为２,则椭圆E 的长轴长的最小值为　　 　　． 三、解答题 １１．设椭圆C:x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)过点(０,４), 离心率为３ ５． (１)求椭圆C的方程; (２)求过点(３,０)且斜率为４５ 的直线被椭圆 C所截线段的中点的坐标． １２．已知椭圆x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)的右焦点为 F２(３,０),离心率为e． (１)若e＝ ３２ ,求椭圆的方程; (２)设直线y＝kx与椭圆相交于A,B 两点, M,N 分别为线段AF２,BF２ 的中点,若坐 标原点O在以MN 为直径的圆上,且 ２２＜e ≤ ３２ ,求k的取值范围． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋