1.1 探索勾股定理（课时2）课时练 2023-2024学年北师大版数学八年级上册

《1　探索勾股定理》课时练 （课时2　验证并应用勾股定理） 一、基础练 知识点1 验证勾股定理 1.曾任美国总统的伽菲尔德曾经给出了一种勾股定理的证明方法.如图,该图形整体上拼成了一个直角梯形,所以它的面积有两种表示方法,既可以表示为　　　　　　,又可以表示为　　　　　 .对比两种表示方法可得　　　　　,化简,可得a2+b2=c2.  2.用如图1所示的四个完全一样的直角三角形可以拼成如图2所示的大正方形.解答下列问题: (1)请用含a,b,c的代数式表示大正方形的面积. 方法1:　　　　　　.方法2:　　　　　　.  (2)根据图2及图形的面积关系,推导a,b,c之间满足的关系式. (3)利用(2)的关系式解答:如果大正方形的面积是25,且(a+b)2=49,求小正方形的面积. 知识点2 勾股定理的简单应用 3.[2023河南郑州期末]如图,某公园内的一块草坪是长方形ABCD,已知AB=8 m,BC=6 m,公园管理处为了方便群众,沿AC修了一条近道.若一个人从A到C,则走A→B→C比直接走A→C多走了 (　　) A.2 m B.4 m C.6 m D.8 m 4.如图,韩彬同学从家(记作A)出发向北偏东30°的方向行走了4 000 m到达超市(记作B),再从超市出发向南偏东60°的方向行走3 000 m到达卢飞同学家(记作C),则韩彬家到卢飞家的直线距离为 (　　) A.2 000 m B.3 000 m C.4 000 m D.5 000 m 5.如图,在离水面高度为8米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为 17米,几分钟后船到达点D的位置,此时绳子CD的长为10米,则船向岸边移动了　　　　米.  6.[2022湖南长沙天心区期末]如图,货车高AC为4 m,货车卸货时,后面的支架AB绕点B旋转使点A落在地面A1处,经过测量A1C=2 m,求点B到地面的距离. 7.如图,有一只喜鹊在一棵3 m高的小树顶觅食,它的巢筑在距离该树24 m远的一棵大树上,大树高14 m,且巢离树顶部1 m,当它听到巢中幼鸟的叫声时,立即赶过去,如果它飞行的速度为5 m/s,那么它至少需要多长时间才能赶回巢中? 二、提升练 1.下列选项中(图中三角形都是直角三角形),不能用来验证勾股定理的是 (　　) 2.[2022陕西宝鸡期中]如图,在高为3米,斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯,则地毯的长度为 (　　) A.4米 B.5米 C.6米 D.7米 3.如图,一条小巷的左右两侧是竖直的墙壁,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙脚的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米.若梯子底端位置保持不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面1.5米,则小巷的宽度为(　　) A.2.7米 B.2.5米 C.2米 D.1.8米 4.如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到图2所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长是 (　　) A.72 B.52 C.80 D.76 5.[2023重庆沙坪坝区期末]在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题:“平地秋千未起,踏板一尺离地.送行二步与人齐,五尺人高曾记.仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇,算出索长有几.”此问题可理解为:如图,有一架秋千,当它静止时,踏板离地的垂直高度AB为1尺,将它往前水平推送10尺时,即 A'C=10尺,秋千的踏板离地的垂直高度A'D就和身高5尺的人一样高.若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直,则绳索OA的长为　　　　.  6.如图,在长方形ABCD中,AD=6,AB=10,若将长方形ABCD沿DE折叠,使点C落在AB边上的点F处,则线段CE的长为　　　　.  7.勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小明灵感,他惊喜地发现,当四个全等的直角三角形如图摆放时,可以用“面积法”来证明a2+b2=c2.请你写出证明过程. 8.在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c.若∠ACB=90°,如图1所示,根据勾股定理,得a2+b2=c2.若△ABC不是直角三角形,如图2和图3所示.请你类比勾股定理,试猜想a2+b2与c2的关系,并证明你的结论. 答案 一、基础练 1.(a+b)2　ab+c2+ab　(a+b)2=ab+c2+ab 2.【解析】　(1)(a-b)2+4×ab　c2 (2)由(1)可知,(a-b)2+4×ab=c2, 即a2+b2=c2. (3)由(2)知,a2+b2=c2. 因为(a+b)2=a2+b2+2ab=c2+4×ab,即大正方形的面积与四个直角三角形的面积和为49, 所以四个直角三角形的面积和为49-c2=4