专题04 一次函数中的特殊平行四边形存在性问题- 【常考压轴题】2023-2024学年九年级数学上册压轴题攻略（北师大版）

专题04 一次函数中的特殊平行四边形存在性问题 类型一、菱形问题 例1．（1个动点）如图，在平面直角坐标系中，已知点O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，．    (1)如图1，请直接写出点A的坐标，并求出直线的解析式． (2)如图2，直线是线段的垂直平分线，垂足为点D，且交y轴于点C，连接，若点P是直线上的一动点，当点P使得时，请求出符合条件的点P坐标． (3)在（2）的条件下，若点P在直线上且在第三象限内，在平面内是否存在其它点Q，使得以点A、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（两个动点）在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点，点在轴负半轴上，且．    (1)求两点坐标； (2)若点是直线上一点，且，求点坐标； (3)点是轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 【变式训练】将一个矩形纸片放置于平面直角坐标系中，点O，点B，点A在x轴，点C在y轴．在边上取一点D，将沿翻折，点B恰好落在边上的点E处．    (1)如图1，求点E坐标和直线的解析式； (2)点P为x轴正半轴上的动点，设． ①如图2，当点P在线段（不包含端点A，O）上运动时，过点P作直线ly轴，直线l被截得的线段长为d．求d关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； ②在该坐标系所在平面内找一点G，使以点C，E，P，G为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G的坐标． 类型二、矩形存在性问题 例．（两个动点）如图，四边形是矩形，点A、C在坐标轴上，是由绕点O顺时针旋转得到的，点D在x轴上，直线交y轴于点F，交于点H，线段的长是2和4； (1)求直线的表达式； (2)求的面积； (3)点在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练1】如图，，是直线与两坐标轴的交点，直线过点，与轴交于点． (1)求，，三点的坐标； (2)点是折线上一动点． ①如图（1），当点是线段的中点时，在轴上找一点，使最小；用直尺和圆规画出点的位置（保留作图痕迹，不要求写作法和证明），并求出点的坐标； ②是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型三、正方形存在性问题 例1．已知，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、点，与直线交于点，过点作轴的平行线，点是直线上的一个动点．    (1)求点，点的坐标； (2)若，求点的坐标； (3)若点是直线上的一个动点，在平面内是否存在点，使四边形是正方形?若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 例2．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线（）交于点P，． (1)求直线的解析式； (2)连接、，若直线上存在一点Q，使得，求点Q的坐标； (3)将直线向下平移1个单位长度得到直线，直线l与x轴交于点E，点N为直线l上的一点，在平面直角坐标系中，是否存在点M，使以点O，E，N，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线：与轴、轴的正半轴分别相交于点A、B，过点作平行于轴的直线交于点D，， (1)求直线的解析式； (2)求证：是等腰直角三角形； (3)将直线沿轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与，轴分别相交于点，在直线上存在点P，使得是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 课后训练 1．如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点，过点的直线平行于y轴，交直线于点D，点P是直线上一动点（异于点D），连接． (1)求直线的解析式； (2)设，求的面积S的表达式（用含m的代数式表示）； (3)当的面积为3时，则以点B为直角顶点作等腰直角，请直接写出点C的坐标． 2．如图1，在平面直角坐标系中，△ABO为直角三角形，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，OB＝3，点C为OB上一动点． (1)点A的坐标为 ； (2)连接AC，并延长交y轴于点D，若△OAD的面积恰好被x轴分成1∶2两部分，求点C的坐标； (3)如图2，若∠OAC＝30°，将△OAB绕点O顺时针旋转，得到△OA'B'，如图2所示，OA'所在直线交直线AC于点P，当△OAP为直角三角形时，直接写出点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，直线与轴交于点，与直线交于点．    (1)求直线的解析式； (2)点是射线上一动点，过点作轴，交直线于点．若以O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请求出点的坐标； (3)设是射线上一点，在平面内是否存在点，使以B、