第1章 勾股定理（压轴题专练）-2023-2024学年八年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）

第1章 勾股定理（压轴题专练） 题型1：全等三角形、等腰三角形、勾股定理综合 1．如图1，在中，，，M是边上一点，N是延长线上一点，．    (1)求证； (2)如图2，延长交于D点，连接，当M点在上运动（不与B、C点重合）时，试探究线段间是否存在确定的数量关系？写出结论并说明理由． (3)如图3，延长交于D点，过B作的垂线，垂足为E，若，，直接写出的长． 2．如图，在中，，，为边的一点，为边上一点，连接，交于点且，平分交于点． (1)求证：； (2)延长交于，连接，过点作交的延长线于点，求证：； (3)在(2)问的条件下，当时，若，求的长． 3．平面内，点B为外一点，连接，，．    (1)如图1，和的角平分线交于点M，直接写出的度数为　 　． (2)如图2，点E在的延长线上，的平分线和平分线交于点F，求的大小． (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点I，且，过点D作射线，交射线于点E，交于点G，当，，，时，求的长． 4．在四边形中，，对角线平分．    (1)如图1，若，且，试探究边、与对角线的数量关系为_________． (2)如图2，若将（1）中的条件“”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由． (3)如图3，若，若，求线段的长和四边形的面积． 5．解答下列各题 (1)如图1，是等边三角形，点D为边上的一动点（点D不与B，C重合），以为边在右侧作等边，连接，线段与的数量关系是 ， ． (2)如图2，在中，，点D为上的一动点（点D不与B，C重合），以为边作等腰直角三角形，连接，请求解下列问题并说明理由：①的度数；②线段之间的数量关系； (3)如图3，在（2）的条件下，若D点在的延长线上运动，以为边作等腰直角，连接，若，请直接写出的值．    题型2：最值问题 6．如图，在中，，，是边上一点，连接，以为直角边向右作等腰直角三角形，其中．    (1)连接，求证：≌； (2)当为何值时，的周长最小； (3)若交于点，求为何值时，为等腰三角形． 7．是边长为2的等边三角形，点P是直线上的一点（不与B、C重合），以为边向右侧作等边，连接．    (1)如图1，点P在边上． ①请说明：； ②求出周长的最小值； (2)当点P在点B的左侧时，在图2中画出符合题意的图形，并直接写出之间的数量关系； (3)直接写出当为直角三角形时，的长． 8．如图，三角形中，，，为线段上任意一点，是的中点，连接，作垂直于且满足（点与点在直线同侧），连接，直线交于点． (1)根据题意补全图1；若，则的长为______； (2)若点恰好是线段的中点，连接，证明：且． (3)作点关于直线的对称点．连接，，当取最小值时，直接写出此时的面积． 题型3：坐标系与勾股定理 9．在平面直角坐标系中，已知点A是x轴负半轴上一点，B点是y轴正半轴上一点，将线段绕A点顺时针旋转90°，得到线段，连接交x轴于一点P． (1)如图1，试判断线段之间的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，D为的中点，交于点E，若，求证：； (3)已知 ，在（2）的条件下，请求出点C的坐标． 10．已知点，，a与b满足．点C为AB的中点． (1)如图1，求的长； (2)如图2，E、F分别为上的动点，且，求证： (3)如图3，点D在y轴正半轴上运动，以AD为腰向下作等腰，，T为线段的中点，连并延长至点N，使，连，求的最小值． 11．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B、C在x轴上，，. (1)如图1，求点A、B、C的坐标； (2)如图2，若点D在第一象限且满足，，线段BD交y轴于点G，求线段BG的长； (3)如图3，在（2）的条件下，若在第四象限有一点E，满足.请探究BE、CE、AE之间的数量关系，并证明. 题型4：方程与勾股定理 12．如图，已知中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． (1)出发2秒后，求的长； (2)从出发几秒钟后，第一次能形成等腰三角形？ (3)当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间． 题型5：动点问题 13．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边，点为x轴正半轴上一动点，连接，以线段为边在第四象限内作等边，直线交y轴于点E，则四边形的面积是 ．（结果用含a的式子表示）    14．如图，在中，，，，为边的中点，为边上一动点，连接，作关于直线的轴对称图形，点的对应点为，连接，设的长度为，则的取值范围为 ．    题型6：以弦图为背景的计算题 15．（1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积得到的等式：________ （2）图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c