第1章 勾股定理（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年八年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）

第1章 勾股定理（知识归纳+题型突破） 1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法； 2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容； 3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题. 一、勾股定理 1.勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：） 二、勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理 　如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 要点：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为； （2）验证：与是否具有相等关系： 　　 若，则△ABC是以∠C为90°的直角三角形； 　　 若时，△ABC是锐角三角形； 　　　若时，△ABC是钝角三角形． 2.勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 要点：常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差1. 3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等） 三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 四、勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边； （2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）解决与勾股定理有关的面积计算； （4）勾股定理在实际生活中的应用． 题型一 用勾股定理理解三角形 【例1】若一个直角三角形的两条直角边长分别是6和8，则斜边长是（   ） A．6 B．7 C．8 D．10 巩固训练： 1. 在直角中，∠B=90°，，，则的长为（    ） A．5 B． C．5或 D．5或 2．如图，在中，，，则的值为（    ）    A．8 B．2 C．4 D． 3．已知直角三角形的两边长分别为5和12，则斜边长是 4．如图所示，已知中，，，于，为上任一点，则等于 ． 题型二 勾股数 【例2】下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．0.3，0.4，0.5 B．3，，4 C．，6， D．9，40，41 巩固训练： 1．下列各组数，是勾股数的一组是（　　） A．8，15，17 B．13，14，15 C．3，5， D．2，， 2．《九章算术》提供了许多勾股数如，等一组勾股数最大的数称为“弦数”．经研究，若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个数组成勾股数，若m是大于1的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1，得到两个整数，那么m与这两个数组成勾股数，根据上面的规律，由10生成的勾股数的“弦数”是（    ） A．16 B．24 C．26 D．32 题型三 勾股定理的逆定理 【例3】a，b，c是的，，的对边，下列条件中，能判断是直角三角形的有（  　） ①  ②  ③   ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 巩固训练： 1. 在中，，，的对边分别为a，b，c，则下列命题中为假命题的是（  ） A．如果，则是直角三角形 B．如果，则是直角三角形 C．如果．则是直角三角形，且 D．若，则是直角三角形． 2．下列由三条线段a、b、c构成的三角形：①，，，②，，，③，，，④，其中能构成直角三角形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型四 勾股定理的逆定理的实际应用 【例4】．的三边分别是a、b、c，且满足，，则的形状是 ． 如图，某住宅小区在施工后留下了一块空地，已知米， 米，米，米，，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪．若草坪每平方米30元，则用该草坪铺满这块空地需花费多少元？    巩固训练： 1．为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量．    (1)求出空地的面积． (2)若每种植1平方米草皮需要300元，问总共需投入多少元？ 题型五 勾股定理与无理数的表示 【例5】．如图，在数轴上点A表示的实数是（    ）    A． B． C． D． 巩固训练： 1．如图，，    (1)写出数轴上点A表示的数； (2)比较点A表示的数与的大小； (3)在数轴上作出所对应的点． 2．如图，在数轴上以1个单位长度画一个正方形，以原点为