第01讲 无理数、平方根、立方根（知识+题型 重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年八年级数学上册重难点突破+分层训练同步精讲练（北师大版）

第01讲 无理数、平方根、立方根（重难点突破） 【知识点一、无理数】 和 都称为有理数。 又叫无理数。 说明：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限。无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式。 （2） 常见的无理数有三种形式：①含类。 ②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….。 ③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如。 【知识点二、算术平方根和平方根的概念】 1．算术平方根的定义 如果一个正数的 等于，即，那么这个正数x叫做的 。（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数。 说明：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2．平方根的定义 如果，那么叫做的 。 求一个数的平方根的运算，叫做 。 平方与开平方互为逆运算。 (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根。 3．平方根和算术平方根的区别与联系 区别：（1）定义不同； （2）结果不同：和 联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0。 说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根。 （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根。因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根。 4．平方根的性质 【知识点三、平方根的运算】 （1）首先要弄清楚每个符号表示的意义。 （2）注意运算顺序。 混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行。 （3）初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据来解。 【知识点四、立方根】 1．如果x＝a，则x叫做a的 ；记作。 2．每个数a都只有 个立方根。 3．正数的立方根是 ；0的立方根是 ；负数的立方根是 。 4．a的立方根是 ，即＝ 。 5．立方根等于本身的数是 。 题型一 无理数 例1．下列各数是无理数的是（    ） A．3 B． C． D．0.1 【变式训练1-1】、下列实数中，是无理数的是（    ） A． B．0.5 C． D． 【变式训练1-2】、下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 题型二 求一个数的算术平方根 例2．计算的结果为（    ） A． B． C． D．2 【变式训练2-1】、下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】、已知，则 ． 题型三 算数平方根的实际应用 例3．将边长分别为 和 的长方形如图剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，则该正方形的边长是（　　） A． B． C． D． 【变式训练3-1】、如图，用两个面积为的正方形拼成一个面积是的大正方形，大正方形的边长是 ． 【变式训练3-2】、小明学习了《数学》第63页的“实验与探究”后做了如下探索：他按图1方法把边长为5厘米和3厘米的两个正方形切割成5块，按图2方式拼成的一个大正方形，则大正方形的边长是 厘米． 题型四 求一个数的平方根 例4．9的平方根是（　　） A． B．3 C． D．81 【变式训练4-1】、下列说法正确的是（   ） A．9的平方根是3 B．的平方根是 C．9的算术平方根是3 D．9的算术平方根是 【变式训练4-2】、已知，则a的平方根是（    ） A． B．1 C． D．0 题型五 平方根的实际应用 例5．若一个正数的两个平方根分别为与，则a的值为（　　） A．2 B． C．6 D．4 【变式训练5-1】、若 与是同一个正数的两个平方根，则m的值为（　　） A．3 B． C．1 D． 【变式训练5-2】、若2022的两个平方根是m和n，则的值是（    ） A．0 B．2022 C． D．4044 题型六 利用平方根解方程 例6．若，则的值是（    ） A． B．5 C．5或 D．5或1 【变式训练6-1】、若，则的值是（　　） A．0 B．2 C．3 D．2或3 【变式训练6-2】、根据平方根的意义解方程： (1)； (2)． 题型七 求一个数的立方根 例7．的立方根是（    ） A． B．2 C．512 D． 【变式训练7-1】、若，的值为（　　） A．2 B． C． D．4 【变式训练7-2】、有这样一道题目：“已知，求x的值．”甲、乙二人的说法如下，则下列判断正确的是（    ） 甲：x的值是1； 乙：甲考虑的不全面，x还有另一个值 A