2.2 基本不等式（6大题型）精讲-【题型分类归纳】2023-2024学年高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第一册）

2.2 基本不等式 重点：1、理解基本不等式的内容及其证明过程；2、运用基本不等式来比较两个实数的大小及进行简单的证明；3、运用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题； 难点：对基本不等式的理解。 一、基本不等式的概念 1、两个不等式 重要不等式：,（当且仅当时取号）. 常见变形公式：、 基本不等式： ,（当且仅当时取到等号）. 常见变形公式： ； 【注意】（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”. （3）我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2、由公式和引申出的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 二、基本不等式的证明 1、法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为. 这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为. 由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：. 当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点， 这时有. 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得： 如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）. 通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”） 2、法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，. 所以，（当且仅当时取等号“=”）. 三、基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，,， 过点作交圆于点D，连接、. 易证，那么，即. 这个圆的半径为，它大于或等于，即， 其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立. 四、利用基本不等式求最值 1、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等. ①一正：各项均为正数； ②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三取等：含变数的各项均相等，取得最值. 2、积定和最小，和定积最大 （1）设x,y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为. （2）设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值),则当x=y时，和x＋y有最小值,且这个值为2. 题型一 对基本不等式的理解 【例1】（2021秋·河南南阳·高一校考阶段练习）不等式（x-2y）+≥2成立的前提条件为（ ） A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y 【变式1-1】（2022秋·北京·高一丰台第十二中学校考期中）下列结论正确的是（ ） A．当时， B．当时，的最小值是 C．当时， D．当时，的最小值为1 【变式1-2】（2022秋·湖北十堰·高一郧阳中学校考阶段练习）（多选）下列推导过程，其中正确的是（ ） A．因为为正实数，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以，当且仅当时，等号成立 【变式1-3】（2023春·四川绵阳·高一校考开学考试）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 题型二 由基本不等式比较大小 【例2】（2022秋·湖南张家界·高一张家界市民族中学校考阶段练习）设，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023春·陕西安康·高一统考开学考试）（多选）若，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2022秋·山东青岛·高一校考阶段练习）（多选）设，则下列不等式中一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023秋·河北邯郸·高一校考期末）（多选）若，且，则（ ） A． B． C． D． 题型三 利用基本不等式求最值 【例3】（2023春·陕西宝鸡·高一统考期末）已知，则的最大值为（ ） A． B． C． D．3 【变式3-1】（2023·全国·高一专题练习）若，则取最大值时x的值是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2023春·广东·高一统考期末）设，则函数的最小值为（ ） A．6 B．7