第04讲 绝对值的几何意义（知识讲练）-【挑战压轴题】2023-2024学年七年级数学上册培优题型归纳与满分秘籍（人教版）

第4讲 绝对值的几何意义 知识导航 |a|的几何意义：在数轴上，表示 这个数的点到原点的距离 |a-b|的几何意义：在数轴上，表示数a,b的两点之间的距离 . |a+b|的几何意义：在数轴上，表示数a,-b的两点之间的距离 . （2022秋•西安期末）【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 （1）若|x﹣2|＝5，则x＝　7或﹣3　； （2）利用数轴，找出所有符合条件的整数x，使x所表示的点到2和﹣1所对应的点的距离之和为3． （3）由以上探索猜想，对于任意有理数x，|x﹣2|+|x+3|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【思路点拨】（1）|x﹣2|可以理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，根据|x﹣2|＝5即可求得x的值； （2）计算|x﹣2|+|x+1|＝3，求得x的取值范围即可解题； （3）|x﹣2|+|x+3|可以理解为数轴上一个点到2和﹣3的距离，即可解题． 【完整解答】解：|x﹣2|可以理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离， 到2的距离为5的数字有7和﹣3， 故答案为7或﹣3； （2）|x﹣2|+|x+1|＝3， 当x＜﹣1时，|x﹣2|+|x+1|＝2﹣x﹣1﹣x＝3﹣2x＝3，x＝0（不符合题意舍去）； 当1﹣≤x≤2时，|x﹣2|+|x+1|＝2﹣x+x+1＝3， 当x＞2时，|x﹣2|+|x+1|＝x﹣2+x+1＝2x﹣1＝3，x＝2（不符合题意舍去）； 综上所述，当1﹣≤x≤2时，x所表示的点到2和﹣1所对应的点的距离之和为3； （3）|x﹣2|+|x+3|可以理解为数轴上一个点到2和﹣3的距离， 求证方法和（2）相同，故有最小值为5． 【考点评析】本题考查了绝对值的计算，考查了绝对值的定义．本题属于基础题，牢记绝对值定义是解题的关键． （2022秋•紫金县期中）同学们都知道，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： （1）求|4﹣（﹣2）|＝　6　； （2）若|x﹣2|＝5，则x＝　7或﹣3　； （3）请你找出所有符合条件的整数x，使得|1﹣x|+|x+2|＝3． 【思路点拨】根据题意给出的定义即可求出答案． 【完整解答】解：（1）原式＝6； （2）∵|x﹣2|＝5， ∴x﹣2＝±5， ∴x＝7或﹣3； （3）由题意可知：|1﹣x|+|x+2|表示数x到1和﹣2的距离之和， ∴﹣2≤x≤1， ∴x＝﹣2或﹣1或0或1． 故答案为（1）6；（2）7或﹣3； 【考点评析】本题考查绝对值的定义，涉及绝对值的几何意义． （2022秋•方城县校级月考）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是　3　；表示﹣3和2两点之间的距离是　5　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣1的两点之间的距离是3，那么a＝　 　． （2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为　 　； （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，这些点表示的数的和是　 ． （4）当a＝　 　时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是　 　． （2021秋•滕州市校级月考）综合应用题： |m﹣n|的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离． （1）|x|的几何意义是数轴上表示 　 　的点与 　 　之间的距离，|x|　 　|x﹣0|；（选填“＞”“＜”或“＝”） （2）|2﹣1|几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离，则|2﹣1|＝　 　； （3）|x﹣3|的几何意义是数轴上表示 　 的点与表示 　 的点之间的距离，若|x﹣3|＝1，则x＝　 　； （4）|x﹣（﹣2）|的几何意义是数轴上表示 　x　的点与表示 　 　的点之间的距离，若|x﹣（﹣2）|＝2，则x＝　 　； （5）找出所有符合条件的整数x，使得|x﹣（﹣5）|+|x﹣2|＝7这样的整数是 知识导航 |x-a|+|x-b|的几何意义：数轴上，数x到数a的距离与数x到数b的距离之和 . |x-a|-|x-b|的几何意义：数轴上，数x到数a的距离与数x到数b的距离之差 . （2022秋•定远