【选修三】第八章 8.3.2 独立性检验-【数学一起课件】2023-2024学年高中数学选择性必修第三册同步PPT课件（人教A版2019）

独立性检验 第八章 成对数据的统计分析 授课人：XXX Image by <a href="https://www.freepik.com/free-vector/isometric-data-visualization-concept-background_4274183.htm#page=4&query=data&position=37&from_view=search&track=sph">Freepik</a> 分类变量与列联表 授课人：XXX Image by <a href="https://www.freepik.com/free-vector/isometric-data-visualization-concept-background_4274183.htm#page=4&query=data&position=37&from_view=search&track=sph">Freepik</a> 学习目标 1 了解独立性检验的基本思想及随机变量的含义. 掌握运用2×2列联表的方法，解决独立性检验的简单实际问题. 2 核心素养 数学抽象 了解随机变量的含义. 数学运算 能够正确使用独立性检验模型解决实际问题. 课程导入 在现实问题中，我们常常需要推断两个分类变量之间是否存在关联. 前面我们通过2×2列联表整理成对分类变量的样本观测数据，并依据随机事件频率的稳定性推断两个变量之间是否有关联. 对于随机样本而言，因为频率具有随机性，频率与概率之间存在误差，所以我们的推断可能犯错误，而且在样本量较少时，犯错误的可能性会比较大. 因此需要找到一种更为合理的推断方法，同时也希望能对出现的错误推断的概率有一定的控制或估计，这是本节课的主要任务. 独立性检验 01 问题探究 在上节课例1中，我们通过频率比较得到“两所学校学生的数学成绩优秀率存在差异”的结论，但由于数据的随机性，这一推断有可能是错误的. 那么犯错误的概率有多大呢？ 如何从概率的角度去研究两个分类变量和是否有关联？ 问题1 问题探究 设和为定义在样本空间上的两个分类变量，可设 例如，在这个问题中我们定义 我们希望判别的是学校因素是否影响学生的数学成绩， 即事件与事件或事件是否有关联. 问题探究 通过2×2列联表判断事件与事件或事件是否有关联，用概率语言表示，就是判断下面的关系是否成立： 通常称为零假设或原假设. 其中表示从中随机选取一个样本点，该样本点属于的概率； 而表示从中随机选取一个样本点，该样本点属于的概率. 问题探究 如何理解零假设？ 追问1 我们通过样本数据去推断两个变量是否有关联，有点类似法官凭证据判案. 法官在判定一个嫌疑犯是否有罪前，应先作一个无罪假设. 统计里在推断两个变量有关联前，也往往先作一个无关联的假定，即零假设. 问题探究 由条件概率的定义可知，零假设等价于 ① 或 请用条件概率的知识，分析零假设，给出分类变量𝑋和𝑌独立的定义. 追问2 问题探究 注意到和为对立事件，于是 再由概率的性质，我们有 由此推得①式等价于 因此，零假设等价于与独立. 根据已经学过的概率知识，下面的四条性质彼此等价： 独立；独立 独立；独立 问题探究 如果这些性质成立，我们就称分类变量和独立. 这相当于下面四个等式成立： ② 因此，我们可以用概率语言，将零假设改述为 分类变量和独立 问题探究 在统计学中，我们通常要从样本数据中找证据，寻找证据的方法是构造一个统计量，并且了解它的统计特征，利用样本计算这个统计量的观测值. 如果这个观测值不符合零假设成立时统计量的应有统计性质，那么我们就有理由相信不成立. 请根据分类变量和独立的定义及等价条件，利用列联表中的数据，构造一个用于推断两个分类变量是否独立的统计量. 问题2 问题探究 列联表如表1所示. 合计 合计 表1 问题探究 你能对这个分类变量和的抽样数据的2×2列联表作一个解读吗？ 追问1 对于随机样本，表1中的频数都是随机变量，相应数据是这些随机变量的一次观测结果： 最后一行的前两个数分别是事件和的频数； 最后一列的前两个数分别是事件和的频数； 中间的四个数是事件的频数； 右下角格中的数是样本容量. 问题探究 如何基于②中的四个等式及列联表1中的数据，构造适当的统计量，对成对分类变量和是否相互独立作出推断？ 追问2 构造出的统计量需要满足： 这个统计量一定要与有关 基于及其等价条件 根据统计量值的大小能判断是否有利于零假设 问题探究 在零假设成立的条件下， 根据频率稳定于概率的原理，由②中的第一个等式， 我们可以用概率和对应的频率的乘积 估计概率 ， 由 ，得 ， 所以 . 问题探究 所以把 视为事件发生的频数的期望值（或预期值）. 这样，该频数的观测值和期望值 应该比较