高效作业(十四) 空间直线、平面的垂直-【优化探究】2025年高一数学暑假高效作业（新教材，人教版）

􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 高效作业(十四)　空间直线、平面的垂直 一、选择题 １．如图所示,平面α∩β＝l,点 A,C∈α,点B∈β,且BA⊥ α,BC⊥β,则直线l与直线 AC的关系是 (　　) A．异面 B．平行 C．垂直 D．不确定 ２．(多选)判断下列结论中正确的是 (　　) A．垂直于同一个平面的两平面平行 B．直线a⊥α,b⊥α,则a∥b C．若直线a⊥平面α,直线b∥α,则直线a与 b垂直 D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的 无数条直线,则α⊥β ３．从平面外一点向平面引一条垂线和三条斜 线,斜足分别为 A,B,C,如果这些斜线与 平面成等角,下列结论正确的是 (　　) A．△ABC是正三角形 B．垂足是△ABC的内心 C．垂足是△ABC的外心 D．垂足是△ABC的垂心 ４．已知 A,B,C 为球O 的球面上的三个点, ☉O１ 为 △ABC 的外接圆,若 ☉O１ 的面积 为４π,AB＝BC＝AC＝OO１,则球O 的表面 积为 (　　) A．６４π B．４８π C．３６π D．３２π ５．已知长方形ABCD,AB＝１,BC＝２,E,F 分 别为BC,AD 中点,将其沿EF 折起,折成直 二面角,则下列说法正确的是 (　　) A．BF与DE 所成角为π６ B．BF与平面FECD 所成角为π６ C．平面BDF垂直于平面ACE D．三棱锥A CDE 的体积为１３ ６．已知三棱锥PＧABC 中,PA＝PB＝２,CA＝ CB＝ ７,AB＝２ ３,PC＝ ３．有以下结论: ①三棱锥PＧABC 的表面积为５ ３;②三棱锥 PＧABC 的内切球的半径r＝ ３５ ;③点P 到平 面ABC 的距离为 ３２． 其中正确的是 (　　) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 二、填空题 ７．如图所示,PO⊥平面ABC,BO⊥AC,在图中 与AC垂直的直线有　　　　条． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１３􀅰 ８．在直三棱柱ABCＧA１B１C１ 中,BC＝CC１,当 底面A１B１C１ 满足条件　　　　时,有AB１ ⊥BC１．(答案不唯一,填上你认为正确的一 种条件即可) 三、解答题 ９．如图,已知 PA⊥ 平面 ABCD,且四边形 ABＧ CD 为矩形,M,N 分别 是AB,PC的中点． (１)求证:MN⊥CD; (２)若∠PDA＝４５°,求证:MN⊥平面PCD． １０．如图,在三棱 锥 PＧ ABC 中,PA⊥平面 PBC,PA＝PB＝２, PC＝４,BC＝２ ３． (１)求证:平面PAB⊥平面ABC; (２)E 为BA 的延长线上一点,若二面角PＧ ECＧB 的大小为３０°,求BE 的长． 结论: １．若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另 一条也垂直于这个平面． ２．两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们 的交线也垂直于第三个平面． ３．在平面内的一条直线,如果它和这个平面的 一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线 垂直． ４．在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影 垂直． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２３􀅰 ９．证明:(１)如 图,取 DC 的 中 点 Q,连接 MQ,NQ． ∵N,Q 分 别 是 PC,DC 的 中 点,∴NQ∥PD．∵NQ⊄ 平 面 PAD,PD⊂ 平 面 PAD,∴NQ ∥平面PAD．∵M 是AB 的中点,四边形ABCD 是平行四边 形,∴MQ∥AD．又∵MQ⊄平面PAD,AD⊂平面PAD, ∴MQ∥平 面 PAD．∵MQ∩NQ＝Q,∴