高效作业(七) 复数的概念-【优化探究】2025年高一数学暑假高效作业（新教材，人教版）

高效作业(七)　复数的概念 一、选择题 １．如果复数(a＋１)＋(a－１)i≠０,那么实数a 的值是 (　　) A．不等于１的实数 B．不等于－１的实数 C．不等于±１的实数 D．任意实数 ２．在复平面内,O为坐标原点,向量OA→对应的复 数为－１＋２i,若点A关于直线y＝－x的对称 点为点B,则向量OB→对应的复数为 (　　) A．－２－i　　　　　　　B．－２＋i C．１＋２i D．－１＋２i ３．已知复数z＝(a２－４)＋(a－３)i(a∈R),则 “a＝２”是“z为纯虚数”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ４．已知复数z＝a＋ ３i(a∈R,i为虚数单位)在 复平面内对应的点位于第二象限,且|z|＝２, 则复数z＝ (　　) A．－１＋ ３i B．１＋ ３i C．－１＋ ３i或１＋ ３i D．－２＋ ３i ５．若复数z＝３－４sin２θ＋(１＋２cosθ)i为纯虚 数,θ∈(０,π),则θ＝ (　　) A．π６ B． π ３ C．２π３ D． π ３ 或２π ３ ６．(多选)已知i为虚数单位,下列命题中正确 的是 (　　) A．若x,y∈C,则x＋yi＝１＋i的充要条件是 x＝y＝１ B．(a２＋１)i(a∈R)是纯虚数 C．若z２１＋z２２＝０,则z１＝z２＝０ D．当m＝４时,复数lg(m２－２m－７)＋(m２ ＋５m＋６)i是纯虚数 二、填空题 ７．若实数x,y满足x＋yi＝－１＋(x－y)i(i是 虚数单位),则xy＝　　　　． ８．已知i是虚数单位,设复数z＝－i＋３,则z＋ |z|＝　　　　． 三、解答题 ９．已知M＝{１,(m２－２m)＋(m２＋m－２)i}, P＝{－１,１,４i},若 M ∪P＝P,求实数 m 的值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５１􀅰 １０．已知复数z１＝m＋ni(m＞n＞０)满足|z１|＝ ３４,z１ 的实部与虚部的积为１５． (１)求z１; (２)设z２＝(a２－２a－３)＋(a２－４a＋３)i(a ∈R),　　　　,求a的值． 从①z１＝z２;②z２ 为纯虚数;③z２ 在复平面上 对应点的坐标为(－３,３)．这三个条件中选一 个,将问题(２)补充完整,并作答．(注:如果选 择多个条件分别解答,按第一个解答计分．) 结论: １．求解与复数概念相关问题的技巧 复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复 数的概念都与复数的实部、虚部有关,所以解 答与复数相关概念有关的问题时,需把所给 复数化为代数形式,即a＋bi(a,b∈R)的形 式,再根据题意求解． ２．复数的几何意义及应用 (１)复数z、复平面上的点Z 及向量OZ → 相互 联系,即z＝a＋bi(a,b∈R)⇔Z(a,b)⇔OZ → ＝ (a,b)． (２)由于复数、点、向量之间建立了一一对应 的关系,因此可把复数、向量与几何联系在一 起,解题时可运用数形结合的方法,使问题简 单化． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (２)∵cosB＝１８ ,B 为三角形的内角,∴sinB＝ １－cos２B ＝ １－ １８( ) ２ ＝３ ７８ ． 又a＝４,c＝３,∴S△ABC＝１２acsinB＝ １ ２×４×３× ３ ７ ８ ＝ ９ ７ ４ ． １９．解析:(１)∵c＝ka＋b,d＝a－b,c∥d,∴c＝λd, 即ka＋b＝λ(a－b)．又向量a,b不共线,∴ k＝λ, １＝－λ,{ 解得λ＝－１,k＝－１,即c＝－d,故c与d 反向． (２)|a|＝|b|,a与b夹角为６０°