高效作业(六) 平面向量的应用-【优化探究】2025年高一数学暑假高效作业（新教材，人教版）

高效作业(六)　平面向量的应用 一、选择题 １．已知两个力F１＝(４,２),F２＝(－２,３)作用于 平面内某静止物体的同一点上,为使该物体 仍保持静止,还需给该物体同一点上再加上 一个力F３,则F３＝ (　　) A．(－２,－５) B．(２,５) C．(－５,－２) D．(５,２) ２．在△ABC中,“AB→􀅰BC→＜０”是“△ABC为锐 角三角形”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ３．已知圆O 中,弦PQ 满足PQ→􀅰PO→＝１,则圆 O半径的最小值为 (　　) A．２２ B． １ ２ C．１ D．２ ４．(多选)锐角△ABC 中,三个内角分别是A, B,C,且A＞B,则下列说法正确的是 (　　) A．sinA＞sinB B．cosA＜cosB C．sinA＞cosB D．sinB＜cosA ５．中国早在八千多年前就有了玉器,古人视 玉为宝,玉佩不再是简单的装饰,而有着 表达身份、感情、风度以及语言交流的作 用．不同形状、不同图案的玉佩又代表不 同的寓意．如图１所示的扇形玉佩,其形状 具体说来应该是扇形的一部分(如图２), 经测量知AB＝CD＝４,BC＝３,AD＝７,则 该玉佩的面积为 (　　) A．４９６π－ ９ ３ ４ B． ４９ ３π－ ９ ３ ２ C．４９６π D． ４９ ３π ６．点O是△ABC 所在平面内的一点,满足OA→ 􀅰OB→ ＝OB→ 􀅰OC→ ＝OC→ 􀅰OA→,则 点 O 是 △ABC的 (　　) A．三条内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点 二、填空题 ７．在四边形 ABCD 中,若AC→＝(１,２),BD→＝ (－４,２),则向量AC→与BD→的夹角为　　　　, 四边形ABCD 的面积为　　　　． ８．在 △ABC 中,A ＝ ６０°,a ＝ ３,则 a＋b＋c sinA＋sinB＋sinC＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０１􀅰 三、解答题 ９．如图所示,一条河的两岸平 行,河的宽度d＝５００m,一艘 船从A点出发航行到河对岸, 船航行速度的大小为|v１|＝ １０km/h,水流速度的大小为|v２|＝４km/h, 设v１ 和v２ 的夹角为θ(０°＜θ＜１８０°)． (１)当船能垂直到达对岸时,求cosθ的值; (２)当船垂直到达对岸时,航行所需时间是否 最短? 请说明理由． １０．在△ABC中,sinAcosC＝cosA(２sinB－sinC)． (１)求A; (２)若b＋c＝ １０,a＝２,求AC→􀅰AB→的值． 结论: １．用正、余弦定理求解三角形基本量的方法 ２．三角形中的必备结论 (１)a＞b⇔A＞B(大边对大角)． (２)A＋B＋C＝π(三角形内角和定理)． (３)sin(A＋B)＝sinC,cos(A＋B)＝－cosC, sinA＋B２ ＝cos C ２ ,cosA＋B２ ＝sin C ２． (４)射影定理:bcosC＋ccosB＝a, bcosA＋acosB＝c,acosC＋ccosA＝b． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１１􀅰 (２)若DFDE＝λ ,AE AC＝μ ,则AE→＝μAC →,DF→＝λDE→,所以AF→－ AD→＝λ(AE→－AD→),AF→＝(１－λ)AD→＋λAE→＝４(１－λ)AB→＋ λμAC →＝４(１－λ)a＋λμb,由于AF →＝２３a＋ １ ３b ,所以４(１－λ) ＝