高效作业(五) 平面向量基本定理及坐标表示-【优化探究】2025年高一数学暑假高效作业（新教材，人教版）

高效作业(五)　平面向量基本定理及坐标表示 一、选择题 １．若{e１,e２}是平面内的一组基底,则下列四组 向量能作为平面向量的基底的是 (　　) A．{e１－e２,e２－e１} B．２e１－e２,e１－ １ ２e２{ } C．{２e２－３e１,６e１－４e２} D．{e１＋e２,e１－e２} ２．已知OA→＝(cos１５°,sin１５°),OB→＝(cos７５°, sin７５°),则|AB→|＝ (　　) A．２ B．３ C．２ D．１ ３．若a＝(２,３),b＝(－４,７),b方向上的单位向 量为e,则a在b上的投影向量为 (　　) A．６５５e B．６５e C．１３５e D．１３e ４．(多选)已知A,B,C 为平面内三点,点A(０, １),AB → ＝２AC → ．若平面内存在唯一点P(x０, y０)使PC →􀅰AB → ＝０,且x２０＝４y０,则点B 的坐 标可能是 (　　) A．(１,０) B．(１,－１) C．(－１,－１) D．(－１,２) ５．如图所示,|OA→|＝|OB→|＝ １,|OC→|＝ ３,∠AOB＝ ６０°,OB→ ⊥ OC→,设 OC→ ＝ xOA→＋yOB →,则 (　　) A．x＝－２,y＝－１ B．x＝－２,y＝１ C．x＝２,y＝－１ D．x＝２,y＝１ ６．已知集合 M＝{a|a＝(１,２)＋λ１(３,４), λ１∈R},N＝{a|a＝(－２,－２)＋λ２(４,５), λ２∈R},则M∩N＝ (　　) A．{(１,１)} B．{(１,１),(－２,－２)} C．{(－２,－２)} D．⌀ 二、填空题 ７．已知O是坐标原点,点A在第二象限,|OA→|＝ ６,∠xOA＝１５０°,向量OA→的坐标为　　　　． ８．已知向量a＝(１,２),b＝(－２,－４),|c|＝ ５．若(a＋b)􀅰c＝５２ ,则a与c 的夹角的大 小为　　　　． 三、解答题 ９．在平面直角坐标系内,已知A(０,５),B(－１, ３),C(３,t)． (１)若t＝１,求证:△ABC为直角三角形; (２)求实数t的值,使|AB→＋AC→|最小; (３)若存在实数λ,使AB→＝λAC→,求实数λ,t 的值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８􀅰 １０．如 图 所 示,△ABC 中,F为BC 边上一 点,２BF → ＝FC →,若 AB → ＝a,AC → ＝b． (１)用向量a,b 表 示AF →; (２)３AB → ＝BD →,连接DF 并延长,交AC 于 点E,若DFDE＝λ ,AE AC＝μ ,求λ和μ 的值． 结论: １．平面向量基本定理的实质及解题思路 (１)应用平面向量基本定理表示向量的实质 是利用平行四边形法则或三角形法则进行向 量的加、减或数乘运算． (２)用向量基本定理解决问题的一般思路是 先选择一组基底,并运用该基底将条件和结 论表示成向量的形式,再通过向量的运算来 解决． ２．向量共线的坐标表示中的乘积式和比例式 (１)若a＝(x１,y１),b＝(x２,y２),则a∥b⇔ x１y２－x２y１＝０,这是代数运算,用它解决平 面向量共线问题的优点在于不需要引入参数 “λ”,从而减少了未知数的个数,而且它使问 题的解决具有代数化的特点和程序化的 特征． (２)当x２y２≠０时,a∥b⇔ x１ x２ ＝y１y２ ,即两个向 量的相应坐标成比例,这种形式不易出现搭 配错误． (３)公式x１y２－x２y１＝０无条件x２y２≠０ 的限制,便于记忆;公式x１ x２ ＝y１y２ 有条件x２ y２≠０的限制,但 不 易 出 错．所 以 我 们 可 以记比 例 式,但 在 解 题 时 改 写 成 乘 积 的 形式． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋