高效作业(四) 向量的数量积-【优化探究】2025年高一数学暑假高效作业（新教材，人教版）

高效作业(四)　向量的数量积 一、选择题 １．下列五个命题:①|a|２＝a２;②a 􀅰b a２ ＝ba ;③ (a􀅰b)２＝a２􀅰b２;④(a－b)２＝a２－２a􀅰b＋ b２;⑤若a􀅰b＝０,则a＝０或b＝０．其中正确 命题的序号是 (　　) A．①②③　　　　　　　B．①④ C．②④ D．②⑤ ２．在腰长为１的等腰直角△ABC中,A＝π２． 记 e是与BC→同向的单位向量,则BA→在BC→上的 投影向量为 (　　) A．１２e B． ２ ２e C．e D．２e ３．△ABC是边长为２的等边三角形,已知向量 a,b满足AB→＝２a,AC→＝２a＋b,则下列结论 正确的是 (　　) A．|b|＝１ B．a⊥b C．a􀅰b＝１ D．(４a＋b)⊥BC→ ４．设a,b是平面上的两个单位向量,a􀅰b＝３５． 若m∈R,则|a＋mb|的最小值是 (　　) A．３４ B． ４ ３ C．４５ D． ５ ４ ５．已知非零向量a,b满足|a|＝２|b|,且(a－b) ⊥b,则a与b的夹角为 (　　) A．π６ B． π ３ C．２π３ D． ５π ６ ６．(多选)折纸发源于中国．１９世纪,折纸传入欧 洲,与自然科学结合在一起成为建筑学院的教 具,并发展成为现代几何学的一个分支．我国 传统的一种手工折纸风车(如图１)是从正方 形纸片的一个直角顶点开始,沿对角线部分剪 开成两个角,将其中一个角折叠使其顶点仍落 在该对角线上,同样操作其余三个直角制作而 成的,其平面图(如图２),则 (　　) A．EH → ∥FC → B．AH →􀅰BE → ＝０ C．EG → ＝EH → ＋EF → D．EC →􀅰EH → ＝EC →􀅰ED → 二、填空题 ７．已知单位向量a,b的夹角为４５°,ka－b与a 垂直,则k＝　　　　． ８．已知|a|＝ ２,|b|＝１,a与b 的夹角为４５°, 则使向量２a－λb与λa－３b的夹角是锐角的 实数λ的取值范围为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６􀅰 三、解答题 ９．已知|a|＝２|b|＝２,且a与b的夹角θ为２３π． (１)求(a－２b)􀅰b; (２)当λ为何值时向量λa＋b与向量a－３b 互相垂直? １０．在如图所示的平面图形中,已知OM＝１, ON＝２,BM → ＝２MA →,CN → ＝２NA →,求: (１)设BC → ＝xOM → ＋yON →,求x＋y的值; (２)若OM → ∥CN →,且‹OM →,ON →›∈ π６ ,π ３ é ë êê ù û úú, 求AB →􀅰AC → 的最小值及此时的夹角‹OM →, ON →›． 结论: １．根据定义计算数量积的两种思路 思路一 若两个向量共起点,则两向量的夹 角直接可得,根据定义即可求得数 量积; 若两向量的起点不同,需要通过平 移使它们的起点重合,然后再计算 思路二 根据图形之间的关系,用长度和相 互之间的夹角都已知的向量分别 表示出要求数量积的两个向量,然 后再根据平面向量数量积的定义 和性质进行计算求解 ２．平面向量数量积运算的常用公式 (１)(a＋b)􀅰(a－b)＝a２－b２． (２)(a＋b)２＝a２＋２a􀅰b＋b２． (３)(a－b)２＝a２－２a􀅰b＋b２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７􀅰 ７．解析:因为向量a,b不平行,所以a＋３b≠０,又向量λa＋２b 与a＋３b平行,则存在唯一的实数μ,使λa＋２b＝μ(a＋３b)成 立,即λa＋２b＝μa＋３μb,整理得