高效作业(三) 向量的数乘运算-【优化探究】2025年高一数学暑假高效作业（新教材，人教版）

􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 高效作业(三)　向量的数乘运算 一、选择题 １．已知P,A,B,C是平面内四点,且PA→＋PB→＋ PC→＝AC→,则下列向量一定共线的是 (　　) A．PC→与PB→ B．PA→与PB→ C．PA→与PC→ D．PC→与AB→ ２．(多选)向量a＝２e,b＝－６e,则下列说法正确 的是 (　　) A．a∥b B．向量a,b方向相反 C．|a|＝３|b| D．b＝－３a ３．如图,不共线的三个向量a,b,c 以圆心O 为起点,终点落在同一 圆周上,且两两夹角相等,若c＝ xa＋yb,则x＋y＝ (　　) A．－２ B．－ ３ C．－ ２ D．－１ ４．已知A,B,C 是平面上不共线的三点,O 是 △ABC 的 重 心,动 点 P 满 足 OP→ ＝ １ ３ １ ２OA →＋１２OB →＋２OC→ æ è ç ö ø ÷,则点P一定为(　　) A．AB 边中线的中点 B．AB 边中线的三等分点(非重心) C．BC边中线的中点 D．AB 边的中点 ５．在△ABC中,O为其内部一点,且满足OA→＋ OC→＋３OB→＝０,则△AOB 和△AOC 的面积 比是 (　　) A．３∶４ B．３∶２ C．１∶１ D．１∶３ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４􀅰 ６．O是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线 的 三 个 点,动 点 P 满 足OP→ ＝OA→ ＋λ AB→ |AB→| ＋ AC → |AC→| æ è ç ö ø ÷,λ∈[０,＋∞),则点P 的轨 迹一定通过△ABC的 (　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 二、填空题 ７．设向量a,b不平行,向量λa＋２b与a＋３b平 行,则实数λ＝　　　　． ８．已知点 P 是 △ABC 所在平面内的一点, 若AP→＝１４AB →＋１２AC →,则S△APC S△APB ＝　　　　． 三、解答题 ９．已知非零向量e１,e２ 不共线． (１)如果AB→＝e１＋e２,BC →＝２e１＋８e２,CD →＝ ３(e１－e２),求证:A,B,D 三点共线; (２)欲使４ke１＋e２ 和e１＋ke２ 共线,试确定实 数k的值． １０．如图,设G 为△ABC 的 重心,过G 的直线l 分 别交AB,AC 于 点P, Q,若AP→＝mAB→,AQ→＝ nAC→,求证:１m＋ １ n＝３． 结论: 　求解向量共线问题的注意事项 (１)向量共线的充要条件中,当两向量共线 时,通常只有非零向量才能表示与之共线的 其他向量,注意待定系数法和方程思想的 运用． (２)证明三点共线问题,可用向量共线来解 决,但应注意向量共线与三点共线的区别与 联系,当两向量共线且有公共点时,才能得到 三点共线． (３)直线的向量式参数方程:A,P,B 三点共 线⇔OP → ＝(１－t)􀅰OA → ＋tOB →(O 为平面内 任一点,t∈R)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５􀅰 ４．ABC　若|a|＝|b|,只能表示a和b的长度相等,不能说明为相 等向量,A错误;相反向量是方向相反,模相等的两个向量,B错 误;若AB→＝DC→,则A,B,C,D 四点可能共线,不能构成平行四边 形,C错误;单位向量是模长等于１的向量,两个单位向量之和的 模长可能仍然为１(如两单位向量夹角为１２０°时),故D正确． ５．D　由PA→＋PB→＝PC→,可得PA→＝PC→－PB→＝BC→, ∴四边形PBCA 为平行四边形,∴点P 在△ABC的外部． ６．C　根据题意得a＋b＋c＝d,所以