高效作业(二十) 空间直线、平面的垂直-【优化探究】2025年高一数学暑假高效作业（新教材，北师大版）

高效作业(二十)　空间直线、平面的垂直 １．直线与直线垂直 (１)定义:若两条直线相交于一点或经过平移 后相交于一点,并且交角为直角,则称这两条 直线互相垂直． (２)若一条直线垂直于一个平面,则它就和平 面内的任意一条直线垂直． ２．异面直线所成的角 (１)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间 　　　一点O分别作直线a′∥a,b′∥b,则直 线a′与b′所成的角就是异面直线a与b所成 的　　　　(或　　　　)． (２)空间两条直线所成角的范围:　　　　　． 特别地,当θ＝　　　　时,a与b互相垂直, 记作　　　　． ３．直线与平面垂直 (１)定义:直线l与平面α内的　　　　一条 直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直． (２)判定定理与性质定理: 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 一条直线与一 个平面内的两 条　　　　直 线都 垂 直,则 该直线与此平 面垂直 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 ü þ ý ï ï ï ï ï ï ⇒l⊥α 性 质 定 理 垂直于同一个 平面的两条直 线　　　　 　　　　 　　　　} ⇒a∥b ４．直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜 线 一 条 直 线 与 平 面 α 　　　　,但不与这 个平面　　　　,这 条直线叫作这个平面 的斜线,如图中　　 　　 斜 足 斜线和平面的　　　, 图中　　　　 射 影 过斜线上斜足以外的 一点向平面引　　　, 过　　　和　　　的 直线叫作斜线在这个 平面上的射影,图中 斜线PA 在平面α 上 的射影为　　　　 直线 与平 面所 成的 角 定义:平面的一条斜线和它在平面上的 射影所成的角,图中　　　　 规定:一条直线垂直于平面,它们所成的 角是　　　　;一条直线和平面平行,或 在平面内,它们所成的角是　　　　 取值 范围 设直线与平面所成的角为θ,θ的范围是 　　　　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０５􀅰 ５．平面与平面垂直 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 一个平面过另 一 个 平 面 的 　　　 　,则 这 两 个 平 面 垂直 　　　　 　　　　} ⇒α⊥β 性 质 定 理 两 个 平 面 垂 直,则 一 个 平 面 内 垂 直 于 　　　　的直 线与另一个平 面垂直 　　　　 　　　　 　　　　 　　　　 ü þ ý ï ï ï ï ï ï ⇒l⊥α 一、选择题 １．如图所示,平面α∩β＝ l,点A,C∈α,点B∈β, 且BA⊥α,BC⊥β,则直 线l与直线AC 的关系 是 (　　) A．异面 B．平行 C．垂直 D．不确定 ２．若空间三条直线a,b,c满足a⊥b,b∥c,则直线 a与c (　　) A．一定平行 B．一定相交 C．一定是异面直线 D．一定垂直 ３．从平面外一点向平面引一条垂线和三条斜 线,斜足分别为 A,B,C,如果这些斜线与 平面成等角,下列结论正确的是 (　　) A．△ABC是正三角形 B．垂足是△ABC的内心 C．垂足是△ABC的外心 D．垂足是△ABC的垂心 ４．已知 A,B,C 为球O 的球面上的三个点, ☉O１ 为△ABC 的外接圆,若☉O１ 的面积为 ４π,AB＝BC＝AC＝OO１,则球O 的表面积 为 (　　) A．６４π B．４８π C．３６π D．３２π ５．(多选题)如图所示是 正四面体的平面展开 图,G,H,M,N 分别 为 DE,BE,EF,EC 的中点,在这个正四 面体中,下列命题正确的是 (　　) A．GH 与EF 平行 B．BD 与MN 为异面直线 C．GH 与MN 成６０°角 D．AG与HM 成６０°角 ６．已知三棱锥PＧABC 中,PA＝PB＝２,CA＝ CB＝ ７,AB＝２ ３,PC＝ ３．有以下结论: ①三棱锥PＧABC 的表面积为５ ３;②三棱锥 PＧABC 的内切球的半径r＝ ３５ ;③点P 到平 面ABC 的距离为 ３２． 其中正确的是 (　　) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 二、填空题 ７．如图所示,PO⊥平面ABC,BO⊥AC,在图中 与AC垂直的直线有　　　　条． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 �