高效作业(十三) 复数的概念-【优化探究】2025年高一数学暑假高效作业（新教材，北师大版）

高效作业(十三)　复数的概念 １．复数的有关概念 (１)定义:形如a＋bi(a,b∈R)的数叫作复 数,其中a叫作复数z 的　　　,b叫作复数 z的　　　(i为虚数单位)． (２)复数z＝a＋bi(a,b∈R)的分类: 复数 实数(b　　　０), 虚数(b　　　０) 纯虚数(a　　　０, b　　　０), 非纯虚数(a≠０, b≠０)． ì î í ï ï ï ï ï ï ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï (３)复数相等:a＋bi＝c＋di⇔　　　　　(a, b,c,d∈R)． (４)共轭复数:a＋bi与c＋di共轭⇔　　　 　　　　　(a,b,c,d∈R)． (５)模:若复数z在复平面内对应的向量为 OZ →,则向量OZ → 的模叫作复数z＝a＋bi的模, 记作　　　　　或 　, 即|z|＝|a＋bi|＝ a２＋b２(a,b∈R)． ２．复数的几何意义 一、选择题 １．若复数２－bi(b∈R)的实部与虚部之和为 零,则b的值为 (　　) A．２ B．２３ C．－２３ D．－２ ２．在复平面内,O 为坐标原点,向量OA→对应 的复数 为－１＋２i,若 点 A 关 于 直 线y＝ －x的对称点为点B,则向量OB→对应的复 数为 (　　) A．－２－i B．－２＋i C．１＋２i D．－１＋２i ３．已知复数z＝(a２－４)＋(a－３)i(a∈R),则 “a＝２”是“z为纯虚数”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ４．已知复数z＝a＋ ３i(a∈R,i为虚数单位)在 复平面内对应的点位于第二象限,且|z|＝２, 则复数z＝ (　　) A．－１＋ ３i B．１＋ ３i C．－１＋ ３i或１＋ ３i D．－２＋ ３i ５．若复数z＝３－４sin２θ＋(１＋２cosθ)i为纯虚 数,θ∈(０,π),则θ＝ (　　) A．π６ B． π ３ C．２π３ D． π ３ 或２π ３ ６．(多选题)已知i为虚数单位,下列命题中正 确的是 (　　) A．若x,y∈C,则x＋yi＝１＋i的充要条件是 x＝y＝１ B．(a２＋１)i(a∈R)是纯虚数 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０３􀅰 C．若z２１＋z２２＝０,则z１＝z２＝０ D．当m＝４时,复数lg(m２－２m－７)＋(m２ ＋５m＋６)i是纯虚数 二、填空题 ７．以 ５i－ ５的虚部为实部,以８i２＋ ２i的实部 为虚部的复数是　　　　． ８．复数１－ ３i在复平面内所对应的点到原点 的距离是　　　　． ９．若实数x,y满足x＋yi＝－１＋(x－y)i(i是 虚数单位),则xy＝　　　　． １０．已知i是虚数单位,设复数z＝－i＋３,则 z＋|z|＝　　　　． 三、解答题 １１．已知M＝{１,(m２－２m)＋(m２＋m－２)i}, P＝{－１,１,４i},若 M∪P＝P,求实数 m 的值． １２．已知x为实数,复数z＝x－２＋(x＋２)i． (１)当x为何值时,复数z的模最小? (２)当复数z的模最小时,复数z在复平面 内对应的点Z 位于函数y＝－mx＋n的图 象上,其中mn＞０,求１m＋ １ n 的最小值及取 得最小值时m,n的值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１３􀅰 ６．AB　由sin２x－cosx＋a２－１＝０ 得１－cos２x－cosx＋a２－ １＝０,即cos２x＋cosx＝a２ ,令t＝cosx∈[－１,１],则根据函 数y＝t２＋t在区间[－１,１]的图象可得a