高效作业(六) 平面向量的运算-【优化探究】2025年高一数学暑假高效作业（新教材，北师大版）

高效作业(六)　平面向量的运算 １．向量的线性运算 加法 减法 数乘 定义 求两个向量和 的运算 a＋(－b) ＝a－b 实 数 λ 与 向 量 a 的 积 是 一 个 　　 　　, 记作λa 法则 (或 几何 意义) 模:|λa|＝ |λ|􀅰|a| 方 向: 当 λ＞ ０ 时, λa与a 方 向　　　; 当 λ ＜ ０ 时,λa 与a 方 向 　 　 　　　;当 λ＝０时,λa ＝０ ２．向量的线性运算的运算律 (１)向量加法的运算律 交换律 a＋b＝　　　　　 结合律 　　　　　＋c＝a＋(　　　　　) (２)向量数乘运算的运算律 ①λ(μa)＝　　　　　． ②(λ＋μ)a＝　　　　　． ③λ(a＋b)＝　　　　　． 特别地,(－λ)a＝－λa＝　　　　, λ(a－b)＝　　　　． 一、选择题 １．如图所示,在正六边形ABＧ CDEF中,若AB＝１,则|AB→ ＋FE→＋CD→|＝ (　　) A．１ B．２ C．３ D．２ ３ ２．(多选题)如图所示,梯形ABCD 为等腰梯 形,则下列关系正确的是 (　　) A．AB→＝DC→ B．|AB→|＝|DC→| C．AB→＞DC→ D．BC→∥AD→ ３．若|AB→|＝８,|AC→|＝５,则|BC→|的范围是 (　　) A．[３,８] B．(３,８) C．[３,１３] D．(３,１３) ４．如图所示,向量OA→,OB→,OC→的终点A,B,C在 一条直线上,且AC→＝－３CB→．设OA→＝p,OB →＝ q,OC →＝r,则以下等式中成立的是 (　　) A．r＝－１２p＋ ３ ２q B．r＝－p＋２q C．r＝３２p－ １ ２q D．r＝－q＋２p ５．已知△ABC的三个顶点A,B,C 及平面内一 点P 满足PA→＋PB→＝PC→,则下列结论正确 的是 (　　) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３１􀅰 A．点P 在△ABC的内部 B．点P 在△ABC的边AB 上 C．点P 在AB 边所在的直线上 D．点P 在△ABC的外部 ６．如图,已知AB 是☉O的直径,C,D 是半圆弧 AB 上的两个三等分点．设BA→＝a,BD→＝b, 则BC→＝ (　　) A．１２a＋b　　　　　B． １ ２a－b C．a＋１２b D．a－ １ ２b 二、填空题 ７．在平行四边形ABCD 中,对角线AC与BD 交 于点O,AB→＋AD→＝λAO→,则λ＝　　　　． ８．如图,用 两 根 绳 子 把 重 １０N 的物体 W 吊在水 平杆 子 AB 上,∠ACW ＝１５０°,∠BCW＝１２０°, 则A 处所受拉力的大小为　　　　,B 处所 受拉力的大小为　　　　．(绳子的重量忽略 不计) ９．已知x,y是实数,向量a,b不共线,若(x＋y －１)a＋(x－y)b＝０,则x＝　　　　,y＝ 　　　　． １０．已知非零向量a,b满足|a|＝|b|＝|a－b|, 则|a＋b| |a－b|＝　　　　． 三、解答题 １１．在静水中船的速度为２０m/min,水流的速度 为１０m/min,如果船从岸边出发沿垂直于 水流的航线到达对岸． (１)求船行进的方向; (２)经过３小时,该船的实际航程是多少 千米? １２．如 图 所 示,四 边 形 OADB 是以向量OA→＝ a,OB→＝b为邻边的平行 四边形．又BM＝１３BC , CN＝１３CD ,试用a,b表示OM→,ON→,MN→． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４１􀅰 (２)要使赛车能回到出发点,只需赛车的位移为零,按(１)