抽象函数问题 讲义-2024届高三数学一轮复习

2024备考一轮复习 函数专题重要考点《抽象函数问题》 （原卷版） Step1.最新真题速递，了解考点动向 ①2023新课标Ⅰ卷//选择11 已知函数的定义域为，，则（ ）． A. B. C. 是偶函数 D. 为的极小值点 Step2.回归知识点，把握方法技巧 01.抽象函数的定义域问题+特殊值赋值 求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集 抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。或紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解 02.抽象函数的解析式问题 解析式求解的常用技巧：换元法.即用中间变量表示原自变量的代数式，从而求出，这也是证某些公式或等式常用的方法 + 由周期函数的定义,采用迭代法可得结论 + 待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. + 赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出的表达式怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略 03.抽象函数的单调性+不等式问题 关于单调性：对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．应该构造出并与0比较大小 对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．应该构造出f(x2)－f(x1)并与0比较大小 对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x1，x2在所给区间内比较f(x1)－f(x2)与0的大小，或f(x1)，f(x2)同号时比较f(x1)/f(x2)与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x1＝x2·或x1＝x2＋x1－x2等． 抽象函数的导数构造：构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.利用进行抽象函数构造，常见类型：具体函数+幂函数+指数函数型解不等式+对数函数+三角函数. 04.抽象函数的对称性+周期性 ①相邻对称轴的距离为→周期； ②相邻对称中心的距离为→周期； ②相邻对称轴和中心的距离为→周期； ④绝对值函数，是偶函数，关于轴对称;是把轴下方的图像对称到轴的上方，无法确定是否仍然具备对称性；形如的图像是双曲线，其两渐近线分别直线和直线，对称中心是点。三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异 Step3.典例精讲，体会方法应用 例．已知定义在R上的函数满足条件，且函数为奇函数，给出以下四个命题：①函数是周期函数；②函数的图象关于点对称；③函数为R上的偶函数；④函数为R上的单调函数．其中真命题的序号为______________． Step4.练习精选，及时巩固 一．选择题 1 函数的定义域为R，且与都为奇函数，则下面结论错误的（ ） A．为奇函数 B．为周期函数 C．为奇函数 D．为偶函数 2. 已知定义域为的函数满足（为函数的导函数），则不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 3. 已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则(xi+yi)=(　　) A.0 B.m C.2m D.4m 4．定义在上的偶函数的导函数为，且当时，.则（       ） A． B． C． D． 5.定义在上的函数满足（为自然对数的底数），其中为的导函数，若，则的解集为（       ） A． B． C． D． 2． 填空题 1．设，若，则x的取值范围是___________. 2．已知定义在上的偶函数，其图像连续不间断，当时，函数是单调函数，则满足的所有之积为______． 3．已知定义在上的函数和，其中的图象关于直线对称，的图象关于点中心对称，且，则_______. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024备考一轮复习 函数专题重要考点《抽象函数问题》 （解析版） Step1.最新真题速递，了解考点动向 ①2023新课标Ⅰ卷//选择11 已知函数的定义域为，，则（ ）． A. B. C. 是偶函数 D. 为的极小值点 【详解】因为，对于A，令，，故正确.对于B，令，，则，故B正确.对于C，令，，则，令，又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，对于D，当时，对两边同时除以，得到，故可