1.4 充分条件与必要条件 讲义——2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.4 充分条件与必要条件 考点预览 知识点讲解 知识点1：命题 定义：用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句。其中，真命题:判断为真的语句；假命题:判断为假的语句 形式:“若,则”.其中称为命题的条件﹐称为命题的结论 知识点练习： 1．下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（    ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③ 知识点2：充分条件与必要条件 1、 充分条件与必要条件 一般地,“若,则”为真命题,【即表示为：由p可以推理出q】就说是的充分条件,是的必要条件.记作： “若,则”是假命题，就说不是的充分条件，不是的必要条件 注意： 在逻辑推理中“”的几种说法 (1)“如果,那么”为真命题. (2)是的充分条件. (3)是的必要条件. (4)的必要条件是. (5)的充分条件是. 这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已. 二、如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，记作.此时既是的充分条件，也是的必要条件．我们说是的充分必要条件，简称为充要条件． 知识点练习： 2．“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 3．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点3：集合与充分必要条件 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； 知识点练习： 4．若非空集合，则“或”是“”的（    ） A．必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 5．“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 考点解析 考点1：充分、必要条件判断 1．已知p：“”，q：“”，则p是q的（　　） A．充要条件 B．既不充分也不必要 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 2．已知a，b都是自然数，则“是偶数”是“a，b都是偶数”的（    ）条件 A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不允分也不必要条件 5．已知集合，，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 考点2：充分、必要条件探究 1．若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 2．若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．使或}成立的一个充分不必要条件是（　　） A．或 B．或 C．或 D． 4．的一个必要条件是（   ） A． B． C． D． 5．已知是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（    ） A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 考点3：充要条件的证明 1．下列三个结论中所有正确结论的序号是（    ） ①若全集为，集合，则； ②空集是任何一个集合的真子集； ③已知集合与，则是的充要条件． A．① B．③ C．①② D．①③ 2．求证：一元二次方程x2＋px＋q＝0有两个异号实数根的充要条件是q＜0. 3．已知，是实数，求证：成立的充要条件是. 考点4：根据条件确定参数范围 1．已知集合，若“”是“”的必要条件，求实数的值. 2．已知，． (1)若q是p的必要非充分条件，求实数a的取值范围； (2)若，且p，q至少有一个成立，求x的取值范围． 3．已知命题α：1≤x≤2，命题β：1≤x≤a． (1)若α是β必要非充分条件，求实数a的取值范围； (2)求证：a≥2是α⟹β成立的充要条件． 4．已知，． （1）当时，求中所对应的实数的取值范围； （2）若是的充分必要条件，求，的值． 课后练习 1．已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既