1.2.4 二面角（同步课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第一册）

1.2.4 二面角 目录 学习任务 思维导图 复习引入 主体学习 课堂小结 学习任务 PART ONE 1.掌握二面角的概念 2.理解二面角的平面角的含义 3.会用向量法解决二面角的计算问题 思维导图 PART TWO 6 复习引入 PART THREE 日常生活中，很多场景中都有平面与平面呈一定角度的形象，例如在建造大坝时为了加固大坝，大坝外侧的平面，一般于水平面呈一定角度；很多屋顶都是二面角的形象. 你能找到日常生活中更多类似的例子吗？怎样刻画平面与平面所成的角呢？ 8 主体学习 PART FOUR 一、二面角及其度量 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面. (2)二面角的平面角：在二面角α－l－β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角． (3)二面角的平面角的取值范围：0°≤θ≤180°. 平面角是直角的二面角称为直二面角． 黄赤交角 例1 如图所示，已知二面角的棱上有两个点，，若，求二面角的大小. 解：如图所示，在平面内过作的平行线，且使得，连接. 因为四边形是一个矩形，是二面角的一个平面角，且，所以，从而 在中，由余弦定理可知 因此. 即所求二面角的大小为. 12 如图所示，设为二面角的半平面上一点，过点做半平面的垂线，设O为棱上一点 （1）判断是什么条件； （2）由二面角的作法，你能得到什么启发？ （1）充要条件 （2）若二面角的大小为 = 例2 如图所示的三棱锥中，面⊥面，, ，且，求二面角的大小. 解：设分别为的中点，连接.如图， 因为，所以，又因为面⊥面， 所以⊥面ABC， 因此在平面内的射影为. 又因为OE为的中位线，，所以， 从而由三垂线定理可知， 因此∠为二面角的一个平面角. 由且可知, 又因为， 而且， 从而可知∠， 即所求二面角的大小为45. 二、用空间向量求二面角的大小 如果, 分别是平面, 的一个法向量,设所成角的大小为，通过作图讨论与<, >的关系. θ=<n1,n2>或θ=π-<n1,n2>,特别地,sin θ=sin<n1,n2> 如图所示，已知四棱锥中，⊥面，为直角梯形，，且，求平面与所成角的正弦值. 例3 解：依题意，两两互相垂直.以为原点，的方向分别为轴、轴、轴正方向，的长为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系.则 , 所以. 显然，是平面的一个法向量. 设平面的一个法向量为，则 令，可得，此时. 因为, 所以可知所求角的正弦值为. 如图所示，已知直三棱柱中, , =2,且D是的中点.求平面BDC与平面BD所成角的大小. 例3 解:以题意， 以C为原点, ，，的方向分别为轴正方向， 建立如图所示直角坐标系，则： C 所以=(0,1,0), =(1,0,1) , =(-1,0,1) , =(0,-1,2) , 设平面的一个法向量为, 则 取=1，可得 ,此时, 如图所示，已知直三棱柱中, , =2,且D是的中点.求平面BDC与平面BD所成角的大小. 例3 设平面的一个法向量为m, 则 取=1，可得 ,此时m, 因为0 所以= 从而可知平面BDC与平面BD所成角的大小为， 也就是说，这两个平面是相互垂直的. 课堂小结 PART FIVE 20 谢谢观看 $