专题12 二次函数中的存在性问题专训-2023-2024学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题12 二次函数中的存在性问题专训 【题型目录】 题型一 二次函数中直角三角形的存在性问题 题型二 二次函数中等腰三角形的存在性问题 题型三 二次函数中等腰直角三角形的存在性问题 题型四 二次函数中特殊角度的存在性问题 题型五 二次函数中平行四边形的存在性问题 题型六 二次函数中矩形的存在性问题 题型七 二次函数中菱形的存在性问题 题型八 二次函数中正方形的存在性问题 【经典例题一 二次函数中直角三角形的存在性问题】 【例1】（2023秋·陕西安康·九年级统考期末）如图，已知抛物线的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点，点P在所在直线下方的抛物线上，过点P作轴，交于点D．                                     备用图 (1)求该抛物线的函数解析式； (2)连接，问是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练】 1．（2023·湖北十堰·统考一模）抛物线经过A、、三点．点D为抛物线的顶点，连接、、、． (1)求抛物线的解析式； (2)在y轴上是否存在一点E，使为直角三角形？若存在，请你直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为． (1)求n的值和抛物线的解析式． (2)已知P是抛物线上位于直线下方的一动点（不与点B，C重合），设点P的横坐标为a．当a为何值时，的面积最大，并求出其最大值． (3)在抛物线上是否存在点M，使是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2023春·山东菏泽·九年级菏泽市牡丹区第二十一初级中学校考阶段练习）如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与y轴交于点，与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作轴，交线段于点D． (1)求该抛物线的函数关系式； (2)设，的长度为l，求l与x的函数关系式，并求l的最大值； (3)当是直角三角形时，求点P的坐标． 【经典例题二 二次函数中等腰三角形的存在性问题】 【例2】（2023秋·广东湛江·九年级校考期末）如图，抛物线的顶点为，与轴相交于点，与轴交于点，（点在点的左边）． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，连接，，．试判定的形状，并说明理由； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； 【变式训练】 1．（2023春·广西南宁·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)在轴是否存在一个动点，使是以为腰的等腰三角形，若存在，求出点的坐标； (3)平移抛物线，平移后的顶点为，如果，设直线，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线的均随的增大而增大，求的取值范围． 2．（2023春·广东云浮·九年级校考阶段练习）如图，已知抛物线与x轴相交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接，点E在线段上运动． (1)求抛物线的对称轴和直线的解析式． (2)过点E作x轴的垂线，交抛物线于点D，求的最大值和此时点D的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2023秋·吉林·九年级统考期末）如图，抛物线经过，两点，并且与轴交于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)直接写出直线的解析式为___________； (3)若点是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为，过点作轴的垂线交于点，设的长为，求与之间的函数关系式及的最大值； (4)在轴的负半轴上是否存在点，使以，，三点为顶点的三角形为等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，说明理由． 【经典例题三 二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】 【例3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知抛物线与x轴交于，B两点，顶点为，E为对称轴上一点，D，F为抛物线上的点（点D位于对称轴左侧），且四边形为正方形． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，求正方形的面积； (3)如图2，连接，与交于点M，与y轴交于点N，若P为抛物线上一点，Q为直线上一点，且P，Q两点均位于直线下方，当是以点M为直角顶点的等腰直角三角形时，求点P的坐标． 【变式训练】 1．（2023·宁夏银川·校考二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线顶点为点D． (1)求B，C，D三点坐标； (2)如图1，抛