1.3空间向量及其运算的的坐标表示自学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.3空间向量及其运算的坐标表示自学案 学习目标 1. 在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置，探索并得出空间两点间的距离公式。 2. 找我空间向量的坐标表示 3. 掌握空间向量的线性运算和数量积运算的坐标表示 4. 体会几何直观与代数运算之间的融合，通过数与形的结合，感悟数学知识之间的关联，加强对数学整体性的理解。 5. 体会类比、数形结合等数学思想方法，发展数学思维，培育科学精神，落实数学运算核心素养。 1、 空间直角坐标系知识清单 1. 空间直角坐标系定义 在空间选定一点O和一个单位正交基底，以点O为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条坐标轴：___________，它们都叫做________，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz。 O叫做坐标原点，都叫做________，通过每两条坐标轴的平面叫做________，分别为______平面，______平面，______平面，它们把空间分成___个部分，如图所示。 注：（1）坐标向量满足，。 （2） 如何判断所建的空间直角坐标系是右手系？ 2. 空间直角坐标系中点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，为坐标向量，对空间任意一点A,对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在_____的___________________，使。 在单位正交基下与向量对应的____________，叫做点A在空间直角坐标系中的______，记作______________，其中______叫做点A的_______，______叫做点A的_______，______叫做点A的_______。 （1）空间直角坐标系中位于坐标轴，坐标平面点的坐标表示 点的位置 X轴上 Y轴上 Z轴上 Oxy平面 Oxz平面 Oyz平面 坐标形式 （2）空间直角坐标系中对称点的坐标 ①点（a,b,c）关于原点O的对称点为________； ②点（a,b,c）关于x轴的对称点为________； ③点（a,b,c）关于Oyz平面的对称点为________； 口诀：关于谁对称，谁不变，其余为相反数。 （3） 常用结论 ①已知A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则线段AB中点的坐标为_____________; ②已知的三个顶点A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，C(x3,y3,z3)，则重心的坐标为_____________________. 3. 空间向量及其运算的坐标表示 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量，作（如图所示），由空间向量基本定理，存在_____的___________________，使，_________叫做在空间直角坐标系Oxyz中的_______，记作：___________。 坐标运算：设，则 4. 空间向量的平行、垂直、模、夹角和两点间距离的坐标表示 设则 设点，则。 特别的，空间任意一点到原点O的距离。 2、 自我检测 1. （多选题）在空间直角坐标系Oxyz中，以下结论正确的是（ ） A. 点A(1,3,-4)关于x轴的对称点的坐标为(-1,-3,4) B. 点P(-1,2,3)关于Oxy平面对称的点的坐标是(-1,2,-3) C. 设分别是轴正方向上的单位向量，若，则 D. 两点间的距离为3. 2. （多选题）已知空间中三点则（ ） A. B. C. D. A,B,C三点共线 3. 已知若OA⊥平面ABC，则 4. 已知空间向量向量在向量上的投影向量是_____. 5. 已知空间向量.（1）若求；（2）若求的值。 6. 已知（1）若四边形ABCD为平行四边形，求实数的值；（2）若四边形ABCD的对角线互相垂直，求实数满足的关系式。 7. 已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2,AB1⊥BC1，点O,O1分别是边AC,A1C1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，（1）求正三棱柱的侧棱长；（2）求异面直线AB1与BC所成角的余弦值。 自我检测答案 1. BCD; 2. AB; 3. ; 4. ; 5. (1)(2)； (1) 因为，所以存在实数k，使得，又，所以解得则 (2) 因为，且，所以，解得，所以，故 6. (1) （1） 因为，且，所以不共线，由四边形ABCD为平行四边形，知，所以，所以 （2） 由题意得,因为四边形ABCD的对角线互相垂直，所以，即，故 7. (1)(2) （1） 设正三棱柱的侧棱长为h，由题意得A(0,-1,0),B(),C(0,1,0),B1(),C1(0,1,h)，则，因为AB1⊥