2.5 用一元二次方程解几何问题 教案2022-2023学年湘教版数学九年级上册

《用一元二次方程解几何问题》 --------教学设计 一、教材分析 本节课属于湘教版（2013）九年级上册第2章P52面内容，是一元一次方程、二元一次方程组、分式方程解应用题的延续，又是学习二次函数的基础，动点问题又是中考试题的热点也是难点，它是研究数形结合重要数学模型。 二、学情分析 学生解动态几何应用题难，主要是不会分析题目中变量之间的关系，不能把动态的数学问题转换成静态数学问题来处理，建立数学模型来解决问题。初三学生具有一定的认知能力，但综合分析能力较弱，鉴于此，教者在课本例题的基础上一题多变，强化基础的同时，培养学生的发散思维能力和创新能力。 三、教学方式与教学手段 以课本例题为载体，多角度设计问题。改变问题以强化练习验证一元二次方程的根是否符合题意，然后让学生出题，让学生体验到练习题从课本例题中来，一题多变，跳出题海。能让学生体会到“学例题---变例题----我设计例题”的快乐。 四、教学目标 知识与技能 1. 能根据具体的几何实际问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，并检验一元二次方程的根是否符合题意。 1. 体会方程建模思想，培养数形结合意识。 1. 学生自己出题，培养创新能力、发散思维能力、综合分析能力。 重点：从实际问题中抽象出数量关系并列方程求解，最后对方程的解的合理性做出解释。 难点：学生自主出题，抽象实际问题中的数量关系，方程建模的全过程。 过程与方法 创设情境--精讲例题--多角度提出新问题--学生出题--合作交流 情感态度与价值观 本节课通过动态几何数学建模的分析思考过程，教师改编例题，启发学生设计新问题，激发学生学数学的兴趣，培养学生的创新思维能力。 技术准备 多媒体计算机、几何画板教学软件。 教学环节 教 师 活 动 学生活动 设计意图 创 设 情 境 引 入 新 课. 1、抢答激趣、导入新课 抢答题： 圆的面积公式 平行四边形的面积公式 梯形的面积公式 三角形的面积公式 直角三角形的面积公式 学生积极思考，检测反应能力。 快速抢答能有效激发学生学习的兴趣，以基础知识导入，为新课做铺垫，自然地引入课题。 教学环节 教 师 活 动 学生活动 设计意图 启 发 探 究 建 立 模 型 例题4如图所示，在△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6cm， BC = 8cm. 点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s 的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后，可使△PCQ的面积为9cm2？ 解：设点P，Q出发xs后可使△PCQ的面积为9c㎡ 根据题意得 AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm. 则由S△PCQ=PC·QC 即=9 整理得：x2 -6x+9=0 答：点P，Q同时出发3s后可使△PCQ的面积为9 c㎡ . 1、学生讨论如何设未知数？如何用未知数的代数式表示PC、CQ的长。如何表示三角形PCQ的面积？找到等量关系 2、学生独立思考并列方程解方程，以及结合题目中的已知条件，正确决定一元二次方程两个根的取舍.请学生展示讲解解题过程。 教师通过几何画板动态演示P、Q点的运动，引导学生观察动点运动的过程中的变化情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题基本思路，然后“化动为静”这也是解决动态几何数学问题中最核心的数学本质。此例题方程恰好有两个相等的实数根，且符合题意，为进一步加强一元二次方程根的检验，特设计以下几个问题，以强化检验根的步骤。 教学环节 教 师 活 动 学生活动 设计意图 探 究 创 新 创新问题一： 点P，Q出发几秒后，可使△PCQ的面积为5cm2？ 解：设点P，Q出发xs后可使△PCQ的面积为5c㎡ 根据题意得 AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm. 则由S△PCQ=PC·QC 即=5 整理得：x2 -6x+5=0 答：点P，Q同时出发1s后可使△PCQ的面积为5 c㎡ . 创新问题二： 点P，Q出发几秒后，可使PQ平分△ABC的面积？ 解：设点P，Q出发xs后可使可使PQ平分△ABC的面积？根据题意得 AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm. 则由S△PCQ=S△ABC 即=××6×8 整理得：x2 -6x+12=0 △＜0 原方程无解 答：PQ不能平分△ABC的面积。 创新问题三： 点P，Q出发几秒后，可使四边形APQB的面积为16 cm2？ 解：设点P，Q出发x秒后可使四边形APQB的面积为16 cm2 AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm. S四边形A