5.5 三角恒等变换-【初升高暑假衔接】2023-2024学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

5.5　三角恒等变换 【知识梳理】 知识点一　两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1) sin(αβ)＝sin αcos βcos αsin β； (2) cos(αβ)＝cos αcos βsin αsin β； (3) tan(αβ)＝． 知识点二　二倍角公式 (1)基本公式： ①sin 2α＝2sin αcos α； ②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； ③tan 2α＝. (2)公式变形： 由cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α可得 降幂公式：cos2α＝；sin2α＝； 升幂公式：cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. 知识点三　辅助角公式 asin x＋bcos x＝sin(x＋θ). （其中） ＝cos(x—φ). （其中） 【基础自测】 1．若tan α＝，则cos 2α等于(　　) A．－ B．－ C. D. 2．若cos(α＋β)＝，sin＝，α，β∈，那么cos的值为(　　) A. B. C. D. 3．tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°＝ . 4．已知sin 2α＝，则cos2＝ . 5．已知α，β均为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝ ，2α－β＝ . 【例题详解】 一、三角函数式的化简 例1　(1)(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α等于(　　) A. 　 B. C. D. (2)2＋等于(　　) A．2cos 2 B．2sin 2 C．4sin 2＋2cos 2 D．2sin 2＋4cos 2 跟踪训练1 (1)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α等于(　　) A. B. C. D . (2)化简下列各式： ①； ②； ③． 二、三角函数的求值 命题点1 给角求值 例2　(1)的值为(　　) A．1 B. C. D．2 (2)的值为（ ） A． B． C．－ D．－ 跟踪训练2　计算：(1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°； (2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)． (3)sin4－cos4等于(　　) A．－ B．－ C. D. 命题点2 给值求值 例3　(1)已知，均为锐角，，，则（     ） A． B． C． D．或 (2)已知，则（     ） A． B． C．1 D．2 跟踪训练3　(1)已知，且，则（     ） A． B． C． D． (2)若，则的值为（     ） A． B． C． D． 命题点3 给值求角 例4　(1)已知都是锐角，则（    ） A． B． C．或 D．不能确定 (2)已知且，则=（    ） A． B． C． D．或 跟踪训练4　(1)若，，且，，则的值是（     ） A． B． C．或 D．或 (2)若为锐角，，则角__________. 三、三角恒等变换的综合应用 例5　已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x. (1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间； (2)若α∈(0，π)，且f ＝，求tan的值． 跟踪训练5　已知函数. （1）求的最小正周期； （2）若，求的值. 【课堂巩固】 1．若均为第二象限角，满足，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 3．若，则（     ） A． B． C． D． 4．已知，与是方程的两个根，则（     ） A． B． C． D．或 5．若，则__________，_________． 6．计算：___________. 7．化简=_________ 8．在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则__________. 9．若，，则___________. 10．已知 （1）求的值； （2）求的值. 11．已知为锐角，，． （1）求的值； （2）求的值． 12．已知函数，． （Ⅰ）求的最小正周