第二十一章一元二次方程 学案 2023-2024学年人教版数学九年级上册

2023-2024学年人教版数学九年级上册第二十一章一元二次方程学案 知识点： 一、一元二次方程 1、定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2 是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 2、一元二次方程的解法 直接开方法、配方法、公式法、因式分解法。 (1)直接开方法。适用形式：x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p。 (2)配方法。套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步骤是： ①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；②移项——把常数项移项到等号的右边；③配方——两边同时加上一次项系数的一半的平方，把左边配成x2+2bx+b2的形式，并写成完全平方的形式；④开方，即降次；⑤解一次方程。 (3)公式法。当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为：的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 ①b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根。 ， ②b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。 ③b2-4ac＜0时，方程无实数根。 定义：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。(4)因式分解法。主要用提公因式法、平方差公式、十字相乘法。 练习题 一、选择题： 1．方程x2﹣3x＝0的根为（　　） A．0 B．3 C．0或3 D．0或 2．若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（　　） A．﹣3 B．0 C．3 D．9 3．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 4．在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡42张，则参加活动的同学有（　　） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 5．已知a是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的较小的根，则下面对a的估计正确的是（　　） A．﹣2＜a＜﹣1 B．2＜a＜3 C．﹣4＜a＜﹣3 D．4＜a＜5 6．若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 7．等腰三角形的底和腰是方程 的两根，则这个三角形的周长为（　　） A．8 B．8或10 C．10 D．无法确定 8．若m、n（m＜n）是关于x的方程1-（x-a）（x-b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（　　） A．m<a<b<n B．A<m<n<b C．A<m<b<n D．m<a<n<b 二、填空题： 9．若是一元二次方程，则a＝　 　. 10．有x支球队参加篮球比赛，共比赛21场，每两个队之间只比赛一场，则关于x的方程是　 　． 11．已知关于 的一元二次方程 有两个不相同的实数根，则 的取值范围是　 　. 12．已知实数x、y满足 ，则﹣xy的平方根等于　 　 ． 13．设a、b、c、d是4个两两不同的实数，若a、b是方程x2－8cx－9d＝0的解，c、d是方程x2－8ax－9b＝0的解，则a＋b＋c＋d的值为　 　． 14．下列给出的四个命题： ①若方程两根为－1和2，则； ②若，则； ③； ④若方程的两个实根中有且只有一个根为，那么，． 其中是真命题的是　 　． 三、解答题： 15．用适当的方法解下列一元二次方程． （1） ； （2） ． 16．关于x的一元二次方程的常数项为0，求m的值． 17．等腰三角形的三边长分别为、、，若，与是方程的两根，求此三角形的周长． 18．关于x的一元二次方程4x2+4（m﹣1）x+m2=0 （1）当m在什么范围取值时，方程有两个实数根？ （2）设方程有两个实数根x1，x2，问m为何值时，x12+x22=17？ （3）若方程有两个实数根x1，x2，问x1和x2能否同号？若能同号，请求出相应m的取值范围；若不能同号，请说明理由． 19．某花店将进货价为20元/盒的百合花，在市场参考价28～38元的范围内定价36元/盒销售，这样平均每天可售出40盒，经过市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每盒下调1元，则平均每天可多销售10盒，要使每天的利润达到750元，应将每盒百合花在售价上下调多少元？ 20．甲