立体几何初步解答题-广东省广州市各区2022-2023学年高一下学期期末数学试题汇编

2022~2023学年广东省广州市各区高一下学期数学期末试题汇编：立体几何初步解答题（原卷版） 1. （2023年广东省广州市越秀区）如图，在直三棱柱中，. （1）证明：平面平面； （2）若直线AC与平面所成的角为，二面角的大小为，试判断与的大小关系，并说明理由. 2. （2023年广东省广州市荔湾区）如图，在正三棱柱中，，，点P，Q分别为线段，的中点． （1）证明平面ABC； （2）求多面体的体积． 3. （2023年广东省广州市天河区）如图，在正三棱柱中，D是的中点，. （1）求证：平面； （2）求与平面所成的角的正弦值. 4. （2023年广东省广州市番禺区）如图，在三棱柱中，平面，，M是AB的中点，． （1）证明：直线CM⊥平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 5. （2023年广东省广州市白云区）图1是正方形，E，F，G分别是，，的中点.将其沿对角线AC折起，连结DB，如图2.请在图2中证明： （1）平面EFG； （2）. 6. （2023年广东省广州市白云区）如图，在直三棱柱中，平面平面， （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成角为，二面角大小为，试判断，的大小关系，并予以证明. 7. （2023年广东省广州市番禺区）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，． （1）若平面平面，证明：； （2）若面⊥面，求四棱锥的侧面积． 8. （2023年广东省广州市天河区）如图，四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，且侧面面ABCD，O是AD的中点，. （1）求证：平面平面POB； （2）当时，在棱PC上是否存在一点M，使得三棱锥的体积为，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由. 9. （2023年广东省广州市荔湾区）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，AC与BD相交于点O，E为CD的中点，，， （1）证明：平面平面ABCD； （2）当点A到平面PCD的距离最大时，求侧面PAB与底面ABCD所成二面角的大小． 10. （2023年广东省广州市越秀区）如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，经过，，三点的平面记为平面，点是侧面内的动点，且. （1）设平面，求证：； （2）平面将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比（其中）； （3）当最小时，求三棱锥的外接球的表面积. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022~2023学年广东省广州市各区高一下学期数学期末试题汇编：立体几何初步解答题（解析版） 1. （2023年广东省广州市越秀区）如图，在直三棱柱中，. （1）证明：平面平面； （2）若直线AC与平面所成的角为，二面角的大小为，试判断与的大小关系，并说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据直棱柱的性质以及题意，由面面垂直的判定定理即可证明结果； （2）过作垂直于点，根据（1）的结论，以及线面角的概念，可得是直线与平面所成的角；再根据二面角的概念易知是二面角的平面角，再在直角三角形中利用正弦公式，通过比值比较即可得到结果. 【小问1详解】 证明：在直三棱柱中，易知， 又，，且两直线在平面内， 所以平面，又平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 过作垂直于点，连接 由（1）可知平面平面 又平面平面，所以平面，垂足为， 则是直线与平面所成的角，即， 由（1）可知平面，所以 ， 又，所以是二面角的平面角，即, 在中，，在中， 又，得， 又,， 所以. 2. （2023年广东省广州市荔湾区）如图，在正三棱柱中，，，点P，Q分别为线段，的中点． （1）证明平面ABC； （2）求多面体的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取AB的中点，证明四边形PDCQ为平行四边形，从而，即证得结论； （2）取BC的中点E，可证得平面，因为点P为线段的中点，则点P到平面的距离，从而由求得答案. 【小问1详解】 取AB的中点，连接PD，CD， 在中，因为P，D分别为中点，所以，且， 正三棱柱中，， 因为为棱的中点，所以，且， 于是， 所以四边形PDCQ为平行四边形，从而， 又因为平面平面ABC，所以平面ABC； 【小问2详解】 取BC的中点E，连接AE，因为AB＝AC，所以， 正三棱柱中，平面ABC，平面ABC，所以， 又平面，所以平面， 点P为线段的中点，则点P到平面的距离， 则多面体的体积 3. （2023年广东省广州市天河区）如图，在正三棱柱中，D是的中点，. （1）求证：平面； （2）求与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明； （2）根据题意可证平面，进而根据线面夹角的定义分析