2.1.1 倾斜角与斜率（重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年高二数学重难点突破+分层训练同步精讲练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题2.1.1 倾斜角与斜率 知识点一、直线的倾斜角 1．直线的确定 在平面直角坐标系中，确定一条直线位置的几何要素是：已知直线上的一点和这条直线的方向，二者缺一不可. 2．直线倾斜角的概念 当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l 方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. 【倾斜角与倾斜程度】 平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.因此，我们可用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度. 3．倾斜角的取值范围 当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角α的取值范围是 . 如下图：的倾斜角为0°，的倾斜角为锐角，的倾斜角为直角，的倾斜角为钝角. 知识点二、直线的斜率 1．斜率的定义 我们把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率，通常用小写字母k表示，即. 【特别提醒】：倾斜角是90°的直线没有斜率. 2．斜率与倾斜角之间的关系 ①当直线的倾斜角α=0°时，斜率k=0，直线与x轴 ； ②当0°<α<90°时，斜率k>0，且k值增大，倾斜角随着 ； ③当α=90°时，斜率k (此时直线是存在的，直线与x轴垂直）； ④当90°<α<180°时，斜率k<0，且k值增大，倾斜角也随着 . 3．直线的倾斜程度 （1）倾斜角α不是90°的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同.因此，我们可以用 表示直线的倾斜程度. （2）直线的斜率和倾斜角都是刻画直线倾斜程度的量，斜率侧重于代数角度，倾斜角侧重于几何角度. 知识点三、过两点的直线的斜率公式 1．公式 经过两点的直线的斜率公式为 . 【名师提醒】 （1）当直线的倾斜角为时，斜率公式不适用，因此在研究直线的斜率问题时，一定要注意斜率的存在与不存在两种情况. （2）斜率计算公式中的值与所选取的两点在直线上的位置无关，两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换. （3）当直线与轴平行或重合时，直线的斜率公式成立，此时. 重难点题型突破1 求直线的斜率 （1）已知倾斜角求斜率时，若，根据公式直接计算.当倾斜角未给出时，可根据直线与其他直线的位置关系(如平行、垂直等)确定出所求直线的倾斜角，再代入计算. （2）已知两点求直线的斜率时，首先应检验两点的横坐标是否相等.若相等，则斜率不存在；若不相等，则可用斜率公式直接计算. 例1．（1）.（2023春·陕西汉中·高二校联考期末）已知直线经过，两点，则直线的斜率为（    ） A．3 B． C．1 D． （2）．（2022·全国·高三专题练习）若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（　　） A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2 （3）．（2023秋·江西吉安·高二江西省吉水县第二中学校考期末）直线l：的倾斜角为（    ） A． B． C． D． （4）．（2021秋·江苏徐州·高二校联考阶段练习）（多选题）下列说法正确的是（    ） A．有的直线斜率不存在 B．若直线的倾斜角为，且，则它的斜率 C．若直线的斜率为1，则它的倾斜角为 D．截距可以为负值 1．（2023春·上海普陀·高二上海市宜川中学校考期末）已知直线l经过点．直线l的倾斜角是 ． 2．（2020·北京十五中高二期中）如图，直线的斜率分别为，则（       ） A． B． C． D． 3．（2023·江苏·高二假期作业）过两点A(5,y)，B(3,－1)的直线的倾斜角是135°，则y等于 ． 4．（2023秋·高一单元测试）（多选题）在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若直线的倾斜角为锐角，则其斜率一定大于0 B．任意直线都有倾斜角，且当时，斜率为 C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D．直线的倾斜角越大，则其斜率越大 重难点题型突破2 三点共线 两点即可确定一条直线，要证三点共线，只要证过同一点的两直线的斜率相等即可.用斜率公式解决三点共线问题时，首先要估测三点中是否任意两点的连线垂直于x轴，即斜率不存在的情况.斜率存在的前提下，当三点中任意两点所确定的直线的斜率相等时，三点共线. 例2．（2022秋·高二课时练习）已知三点共线，则的值为 . 1．（2022秋·江苏徐州·高二校考阶段练习）（多选题）下列说法中，正确的是（    ） A．直线在轴上的截距为 B．直线的倾斜角为 C．，，三点共线 D．过点且在轴上的截距相等的直线方程为 例3．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄市第二十一中学校考阶段练习）