2023年上海市九年级中考数学复习几何专题—2旋转

2023年上海市初中几何专题—2旋转 例1 如图（a），边长为1的正方形ABCD，绕点A逆时针旋转30°到正方形，图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. （2）正方形ABCD在坐标系中的位置如图（b）所示，将正方形ABCD绕D点顺时针旋转90°后，B点的 坐标为____________ 例2 如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、DC上，且∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF 例3 如图，以的边AC,AB为一边，分别向三角形的外侧作正方形ACFG和正方形ABDE，连接EC交AB于点H，连接BG交CE于点M，求证： 例4 如图，在等腰中，AB=AC，，在四边形BDEC中，DB=DE，，M为CE的中点，连接AM、DM. （1）在图中画出关于点M成中心对称的图形； （2）求证：； （3）当___________时，AM=DM. 例5 已知：在中，，以AB为边作等边三角形ABD，探究下列问题： （1）如图（a），当点D与点C位于直线AB的两侧时，，且∠ACB=60°，则CD=_______； （2）如图（b），当点D与点C位于直线AB的同侧时，，且∠ACB=90°，则CD=_______； （3）如图（c），当∠ACB变化，且点D与点C位于直线AB的两侧时，求CD的最大值及相应的∠ACB 的度数. 例6 已知：∠MAN，AC平分∠MAN. （1）在图（a）中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，AB+AD______AC（填写“>”,“<”，“=”） （2）在图（b）中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立? 若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由. 例7 如图（a），O为正方形ABCD的中心，分别延长OA、OD到点F、E，使OF=2OA，OE=2OD，连接EF，将绕点O逆时针旋转角得到（如图（b））. （1）探究与的数量关系，并给予证明； （2）当时，求证：为直角三角形. 例8 如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中点. （1）求证：是等边三角形； （2）将绕点M旋转，当MD（即）与AB交于一点E，MC（即）同时与AD交于一 点F时，点E、F和点A构成，试探究的周长是否存在最小值，如果不存在，请说明理 由；如果存在，请计算出周长的最小值. 【练习题】 1. 如图，是由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是____________ 2. 如图，已知在中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是BC上的任意一点，探究：与的关系，并证明你的结论 3. 如图，P是等边中内一点，若AP=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数 4. 如图（a），在平行四边形ABCD中，于点E，E恰为BC的中点，tanB=2. （1）求证：AD=AE； （2）如图（b），点P在BE上，作于点F，连接AF，求证：； （3）请你在图（c）中画图探究：当P为线段EC上任意一点（P不与点E重合）时，作于点F，连接AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系? 直接写出你的结论. 5. 请阅读下列材料： 已知：如图（a），在Rt中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45°，探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系 小明的思路是：把绕点A顺时针旋转90°，得到，连接，使问题得到解决，请你参考小明的思路探究并解决下列问题： （1）猜想BD、DE、EC三条线段之间的数量关系式，并对你的猜想给予证明； （2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（b），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变? 请说明你的猜想并给予证明. 6. 请阅读下列材料： 如图（a），在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG、PC，若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG与PC的位置关系及的值 小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决 请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： （1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值； （2）将图（a）中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图（b）），你在（1）中得到的两个结论是否发生变化? 写出你的猜想并加以证明； （3）若图（a）中，将BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示） 7. 已知：在Rt中，AB=BC，在Rt中，AD=DE，连接EC，取EC的中