专题 全等三角形常见的基本模型-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年八年级数学上册同步精讲精练（人教版）

八年级上册数学《第十二章 全等三角形》 专题 全等三角形常见的基本模型 题型一 平移模型 平移模型展示 沿同一直线 (BC) 平移可得两三角形重合 (BE=CF) 【例1】已知：如图，点E是AC的中点，BA⊥AC于A，DE⊥AC于E，∠B＝∠D， 求证：BE＝DC． 【分析】由已知条件易证△ABE≌△EDC，由全等三角形的性质：对应边相等即可得到BE＝DC． 【解答】证明：∵E是AC的中点， ∴AE＝EC， ∵BA⊥AC，DE⊥AC， ∴∠BAE＝∠DEC＝90°， 又∵∠B＝∠D， ∴在△ABE和△EDC中 ， ∴△ABE≌△EDC（AAS）， ∴BC＝DC． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定及性质，注意掌握①判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL；②全等三角形的对应边对应角分别相等． 【变式1-1】（2022秋•枣阳市期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF．求证：AC＝DF． 【分析】首先利用平行线的性质得∠B＝∠DEF，再利用SAS得出△ABC≌△DEF，得出∠ACB＝∠F，根据平行线的判定即可得到结论． 【解答】证明：∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF． 又∵BE＝CF， ∴BC＝EF 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴AC＝DF． 【点评】此题主要考查了平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 【变式1-2】（2023春•埇桥区期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．试说明： （1）△ABC≌△DEF； （2）∠A＝∠EGC． 【分析】（1）根据等式性质，由BE＝CF得BC＝EF，再根据SSS定理得△ABC≌△DEF即可； （2）由全等三角形得∠B＝∠DEF，由平行线的判定定理得AB∥DE，再根据平行线的性质得∠A＝∠EGC． 【解答】解：（1）∵BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC， ∴BC＝EF， 在△ABC和△DEF中 ， ∴△ABC≌△DEF（SSS）； （2）∵△ABC≌△DEF， ∴∠B＝∠DEF， ∴AB∥DE， ∴∠A＝∠EGC． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质与判定，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型． 【变式1-3】已知：如图，点B，E，C，F有同一直线l，AB∥DE，且AB＝DE，BE＝CF，试判断线段AC与DF的数量关系以及位置关系．并证明． 【分析】结论：AC＝DF，AC∥DF．证明△ABC≌△DEF（SAS）即可解决问题． 【解答】解：结论：AC＝DF，AC∥DF． 理由：∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF， ∵BE＝CF， ∴BC＝EF ∵AB＝DE， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴AC＝DF，∠ACB＝∠F， ∴AC∥DF． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式1-4】如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC与DE相交于点O，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF． （1）求证：AC∥DF； （2）若∠B＝65°，∠F＝35°，求∠EOC的度数． 【分析】（1）由AB∥DE得∠B＝∠DEF，根据BE＝CF得BC＝EF，可证明△CAE≌△DAE（SAS），根据全等三角形的的性质和平行线的性质即可证得结论； （2）由全等三角形的性质得到∠DEF＝65°，∠ACB＝35°，根据三角形内角和定理即可求出∠EOC． 【解答】证明：（1）∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF， ∵BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC， ∴BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴∠ACB＝∠F， ∴AC∥DF； （2）解：由（1）得∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F， ∴∠DEF＝∠B＝65°，∠ACB＝∠F＝35°， 在△EOC中，∠DEF+∠ACB+∠EOC＝180°， ∴∠EOC＝180°﹣∠DEF﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣35°＝80°． 【点评】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，根据判定三角形全等的方法证得△ABC≌△DEF是解决问题的关键． 【变式1-5】如图，A、D、B、E四点在同一条直线上，AD＝BE，BC∥EF，BC＝EF． （1）求证：AC＝DF； （2）若CD为∠ACB的平分线，∠A＝25°，∠E＝71°，求∠CDF的度数． 【分析】（1）由“SAS”可证△ABC≌△DEF，可得AC＝DF； （2）由全等三角形的性质可得∠ABC＝∠E＝71°，∠A＝∠FDE＝25°，由三角形内角和定理可求∠ACB＝84°，由角平分线的性