1.1.2 空间向量的数量积运算-2023-2024学年高二数学上学期《导学•解读•突破》导学案（人教A版2019选择性必修第一册）

3.1.3　空间向量的数量积运算 1.掌握空间向量的夹角与长度的概念. 2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.(重点) 3.能用向量的数量积解决立体几何问题.(难点) 重点：掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法； 难点：能用向量的数量积解决立体几何问题 阅读课本内容，自主完成下列内容。 知识点一　空间向量的夹角 1.夹角的定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉. 2.夹角的范围 空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π].特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝________时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝时，两向量________，记作________. （1）已知是等边三角形，则〈，〉＝ ； （2） 在正方体ABCD­A′B′C′D′中，与的夹角为 . 知识点二　空间向量的数量积及其性质 1.已知两个非零向量a，b，则________叫做a，b的数量积，记作________.规定：零向量与任何向量的数量积为________，即0·a＝________. 2.空间向量数量积满足下列运算律： (1)(λa)·b＝λ(a·b)； (2)交换律：a·b＝b·a； (3)分配律：a·(b＋c)＝________. 数量积对结合律一般不成立，因为(a·b)·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b是一个与b共线的向量，两者一般不同． 3.空间向量数量积的性质： 两个向量数量积的性质 若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0 若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|； 若反向，则a·b＝－|a|·|b|. 特别地：a·a＝|a|2或|a|＝. 若θ为a，b的夹角，则cos θ＝ |a·b|≤|a|·|b| (1)两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定； (2) 中间的“·”在向量的运算中不能省略，也不能写成； (3)在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是[ 0,]． 下列式子中正确的是(　　) A.|a|a＝a2　 B.(a·b)2＝a2b2 C.a(a·b)＝b·a2 D.|a·b|≤|a||b| 知识点三 向量的投影 1、平面向量的投影概念：如图, 是两个非零向量，， 与的夹角为，你能在图中做出的几何图形吗? 我们称这种变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． 2、平面投影向量的定义: 我们可以在平面内任取一点O，作， .过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量在向量上的投影向量. 原则：共起点 问题：类似的，在空间，向量a向向量b的投影由什么意义？向量a向直线的投影呢？向量a向平面的投影呢？ 1、向量在向量上的投影向量 如图①，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量。类似的，可以将向量向直线投影（如图②）。 2、向量在平面上的投影 如图③，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量称为向量在平面上的投影向量。这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角。 已知|a|＝4，e为单位向量，它们的夹角为，则向量a在向量e上的投影向量是____________；向量e在向量a上的投影向量是____________． 考点一 空间向量数量积的运算 例1 已知向量,,是一组单位向量,且两两垂直.若,,则的值为( ). A. 7 B. C. 28 D. 11 【对点演练】已知a、b是异面直线,且,,分别为直线,上的单位向量,且,,,则实数的值为( ) A. B. 6 C. 3 D. 例2如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值： (1)·； (2)·； (3)·. 【对点演练】1. 棱长为的正四面体中,则等于( ) A. B. C. D. 2. 如图所示,已知正方体的棱长为1,则( )        A. B. C. D. 3.（2022·广东·广州市玉岩中学高二期中）正四面体棱长为，为中点，则（    ） A． B． C． D． 4.（2023广东揭阳高二期末）在空间四边形中，等于（ ） A． B．0 C．1 D．不确定 5.（2023福州铜盘中学高二期末）如图所示，平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是（ ） A． B．1 C． D． 6.如图，在