1.1.1 空间向量及其线性运算-2023-2024学年高二数学上学期《导学•解读•突破》导学案（人教A版2019选择性必修第一册）

3.1.1 空间向量及其运算 3.1.2空间向量的数乘运算 1.理解空间向量的有关概念. 2.类比平面向量，会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差. 3.理解向量运算的交换律、结合律和分配律． 4.理解向量共线、向量共面的定义. 5.掌握共线向量定理和共面向量定理，会证明空间三点共线、四点共面． 重点：向量共线、向量共面的定义 难点：证明空间三点共线、四点共面 阅读课本内容，自主完成下列内容。 知识点一　空间向量的概念 思考1.　类比平面向量的概念，给出空间向量的概念. 1.空间向量的概念 在空间，把具有_____和_____的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的_____或___. 空间向量用有向线段表示，有向线段的_____表示向量的模，a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记为__________. （1）空间中点的一个平移就是一个向量； （2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量． 2.几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫_______，记为0 单位向量 ______的向量叫单位向量 相反向量 与向量a长度_____而方向_____的向量，称为a的相反向量，记为－a 相等向量 方向_____且模_____的向量称为相等向量，_____且_____的有向线段表示同一向量或相等向量 知识点二　空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. （1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并； （2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则． （3）空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即： 因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：； 已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则等于(　　) A.a＋b－c B.－a－b＋c C.－a＋b＋c D.－a＋b－c 知识点三　共线向量 1．空间两个向量共线的充要条件 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是 . 此定理可分解为以下两个命题： （1）存在唯一实数，使得； （2）存在唯一实数，使得，则． 注意：不可丢掉，否则实数就不唯一． （3）共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行；（进而证线面平行） ②证明三点共线． 注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法．证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点． 2．直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的 ． 知识点四　共面向量 1．共面向量 如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l 或 ，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA 于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做 ． 2．向量共面的充要条件 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)， 使 . （1）在平面中，A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点． （2）在空间中，P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点． 1、判断题：(1)共线向量一定是共面向量，但共面向量不一定是共线向量.(　　) (2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面向量.(　　) (3)如果＝＋t，则P，A，B共线.(　　) (4)空间中任意三个向量一定是共面向量.(　　) 2.已知空间四点P，M，A，B，下列结论可证明四点共面的有 (1)＝x＋y； (2)对空间任一点O，＝＋x＋y； (3)对