1.4 空间向量的应用-2023-2024学年高二数学上学期《导学•解读•突破》导学案（人教A版2019选择性必修第一册）

1.4空间向量的应用 题型内容：（1）六种位置关系的证明与判断（2）三种空间角的求解（3）四种空间距离的求解（4）探索性问题的求解 1．理解直线的方向向量与平面的法向量． 2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系． 3．能用向量方法证明平行和垂直． 4．能用向量方法解决距离问题和简单夹角问题． 重点难点：能用向量方法解决距离问题和简单夹角问题． 阅读课本内容，自主完成下列内容。 知识点一：直线的方向向量和平面的法向量 1、直线的方向向量： 点A是直线l上的一个点，是直线l的方向向量，在直线l上取，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式． （1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量． （2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算． 若在直线上，则直线的一个方向向量为（       ） A． B．C． D． 2、平面的法向量定义： 直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合． 一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量．已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量． 知识点二：空间位置关系的向量表示 1．设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则 线线平行 l∥m⇔ a＝kb(k∈R) 线面平行 l∥α⇔ a⊥n1⇔ a·n1＝0 面面平行 α∥β ⇔ n1∥n2⇔ n1＝kn2(k∈R) 线线垂直 l⊥m⇔a·b＝0 线面垂直 l⊥α⇔ a∥n1⇔ a＝kn1(k∈R) 面面垂直 α⊥β ⇔ n1⊥n2⇔ n1·n2＝0 2．利用空间向量证明空间垂直、平行的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系． (2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素． (3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系． (4)根据运算结果解释相关问题． 1.若直线l的方向向量，平面的法向量，则（       ） A． B． C． D．或 2.平面的法向量为，平面的法向量为，则下列命题正确的是（       ） A．，平行 B．，垂直 C．，重合 D．，相交不垂直 知识点三 空间距离的向量求法 1．点到线的距离：设直线l的单位方向向量为u，A∈l，Pl，设＝a，则点P到直线l的距离d＝ 2．点到面的距离：已知平面α的法向量为n，A∈α，Pα，则点P到平面α的距离为d＝ 知识点四 利用向量求空间角 1．两条异面直线所成的角 设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v， 则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝＝． 两异面直线所成的角的范围为．两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角． 2．直线和平面所成的角 直线AB与平面α相交于B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝． 3．二面角 (1)两平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面 β的夹角． (2)两平面夹角的计算：设平面α，β的法向量分别是n1，n2，平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝． 1．线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cos θ＝|cos〈a，n〉|． 2．二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是．二面角的平面角等于或， 即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角． ①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小． ②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小． 知识点五、用向量方法求空间距离 1、求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点到平面的距离，其中是平面的法向量． 2、线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解- 即：点到平面的距离，其中是平面的法向量． 直线与平面之间的距离：，其