1.3 空间向量及其运算的坐标表示-2023-2024学年高二数学上学期《导学•解读•突破》导学案（人教A版2019选择性必修第一册）

1.3空间向量及其运算的坐标表示 1.了解空间直角坐标系，理解空间向量的坐标表示，培养直观想象的核心素养； 2.掌握空间向量运算的坐标表示，提升数学运算的核心素养； 3.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用，培养逻辑推理的核心素养； 4.掌握空间向量的模夹角以及两点间距离公式，能运用公式解决问题，强化数学运算和逻辑推理的核心素养。 重点：理解空间向量的坐标表示及其运算 难点：运用空间向量的坐标运算解决简单的立体几何问题 阅读课本内容，自主完成下列内容。 问题1：在平面向量中，我们借助平面直角坐标系得到了平面向量的坐标表示和坐标运算．在平面直角坐标系中如何用坐标表示向量呢？ 问题2：类似于平面向量基本定理，类比推广到空间向量基本定理，能否将平面直角坐标系中的坐标表示向量类比推广到空间呢？ 知识点一 空间直角坐标系 在空间中选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}．以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这样我们就建立了空间直角坐标系． (1)空间直角坐标系的定义：在空间中选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}．以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴．这时我们就建立了一个空间直角坐标系O­xyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分． (2)画法：画空间直角坐标系O­xyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°. (3)右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标轴为右手直角坐标系．本书建立的坐标系都是右手直角坐标系． (4)空间点的坐标表示：在空间直角坐标系O­xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． (5)空间向量的坐标表示：在空间直角坐标系O­xyz中，给定向量a，作＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记为a＝(x，y，z)． 【探究1】与坐标轴或坐标平面垂直的向量坐标有何特点？ 【提示】xOy平面上的点的坐标为(x，y,0)，xOz平面上的点的坐标为(x,0，z)，yOz平面上的点的坐标为(0，y，z)，x轴上的点的坐标为(x,0,0)，y轴上的点的坐标为(0，y,0)，z轴上的点的坐标为(0,0，z)． 【探究2】在空间直角坐标系中,向量的坐标与终点P的坐标有何关系? 【提示】相同。 1.若a=3i+2j-k,且{i,j,k}为空间的一个单位正交基底,则a的坐标为　　　　.  【答案】(3,2,-1) 知识点二 空间向量及其运算的坐标表示 1、若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 (1)a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)． (2)a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)． (3)λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)． (4)a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3. (5)若b≠0，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)． (6)若a⊥b，则有a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. (7)|a|＝＝ . (8)cos〈a，b〉＝＝ . ①夹角公式可以根据数量积的定义推出： ，其中的范围是 ②. ③用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。 ④与任意空间向量平行或垂直 【思考】若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a∥b，则＝＝对吗？ 【提示】不一定正确，因为b1，b2，b3可能为0，只有b1≠0，b2≠0，b3≠0时才有＝＝成立． 2、若，则 ① 即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ②， 或. 两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出。 3、空间线段中点坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. 已知棱长为1正方体，建立如图所示的空间直角坐标系，试完成下列问题： 1. 试求出正方体各个顶点的坐标； 2. 若是的中点，