1.2 空间向量基本定理-2023-2024学年高二数学上学期《导学•解读•突破》导学案（人教A版2019选择性必修第一册）

1.2空间向量基本定理 1、了解空间向量基本定理及其意义. 2、会用基底表示空间向量 3、掌握空间向量的正交分解． 4、掌握用基向量解决立体几何中简单问题的通法 重点：掌握空间向量基本定理 难点：用空间向量基本定理解决有关问题. 阅读课本内容，自主完成下列内容。 【问题】观察如图所示的平行六面体，已知＝a，＝b，＝c，请运用空间向量的线性运算知识，用a，b，c表示向量，表示唯一吗？此时这三个向量a，b，c共面吗？ 知识点一 空间向量基本定理 (1)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. (2)基底：如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc, x，y，z∈R}．这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 【探究1】空间中怎样的向量能构成基底？ 【探究2】基底与基向量的概念有什么不同？ 【探究3】空间的基底唯一吗？ 【探究4】为什么空间向量基本定理中x，y，z是唯一的？ 1.空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示;不同基底下,同一向量的表达式也有可能不同. 2.由于零向量与任意一个非零向量共线,与任意两个不共线的非零向量共面,所以若三个向量不共面,就说明它们都不是零向量. 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”. (1)空间向量的基底是唯一的.(　　) (2)若a,b,c是空间向量的一个基底,则a,b,c均为非零向量.(　　) (3)已知A,B,M,N是空间四点,若, , 不能构成空间的一个基底,则A,B,M,N共面.(　　) (4)若{a,b,c}是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则有x=y=z=0.(　　) 知识点二 空间向量的正交分解 知识点2 正交分解 【思考】如图，正方体的棱长为3，向量e1、e2、e3分别为棱AB、AD、AD1上的单位向量，{e1，e2，e3}能不能作为空间的一个基底？你能用向量e1、e2、e3表示向量吗？ (1)单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量 ，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． (2)正交分解：把一个空间向量分解为 的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 知识点三 用空间向量基本定理解决相关的几何问题 用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立 考点一 空间向量基底的概念 例1 （2022·重庆八中模拟预测）若构成空间的一个基底，则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是（       ） A． B． C． D． 【对点演练】1、（2022·湖南·高二课时练习）已知，，是不共面的三个向量，下列能构成一组基的是（       ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2.（2023·高二校考课时练习）已知是空间的一组基底，则可以与向量，构成基底的向量是（   ） A． B． C． D． 3.（2023·辽宁·高二校联考期末）已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（    ） A． B． C． D． 考点二 空间向量基底的运用 例2（2023·浙江丽水·高二统考期末）在平行六面体中，AC，BD相交于，为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【对点演练】1、（2022·广东·佛山市南海区桂城中学高二阶段练习）在四面体中，，，，点在上，且，是的中点，则（       ） A． B． C． D． 2、（2022·江苏·泰州中学高二期中）在四棱柱中，，，则（       ） A． B． C． D． 3、（2023·全国·高二专题练习）如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则（    ） A． B． C． D． 4、（2022·江苏连云港·高二期中）在正方体中，，则（       ） A． B． C． D． 考点三 空间向量的正交分解 例3．（2021·湖北·武汉市钢城第四中学高二阶段练习）设是空间的一个单位正交基底，且向量 ， 是空间的另一个基底，则用该基底表示向量____________. 【对点演练】1、（2023·高二课时练习）已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在